山东省聊城市2019—2020学年度高二下学期数学期末教学质量抽测试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 在复平面上对应的点为 $(- 1 ， 1)$ ，则（）

A、 $z + i$ 是实数（ $i$ 为虚数单位） B、 $z + i$ 是纯虚数（ $i$ 为虚数单位） C、 $z + 1$ 是实数 D、 $z + 1$ 是纯虚数

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2. 甲乙两人投球命中率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{5}$ ，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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3. 函数 $y = f (x) 的导函数 y = f {}^{，}{(x)}$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．

A、420 B、180 C、64 D、25

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5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件 $A$ 为“取到的2个数之积为偶数”，事件 $B$ 为“取到的2个数之和为偶数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 \ln x$ 在区间 $(2 m ， m + 1)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2)$

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7. 随机变量 $ξ$ 的取值为0，1，2.若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (ξ = 1) = \frac{2}{5}$ B、 $P (ξ = 2) = \frac{2}{5}$ C、 $D (ξ) = \frac{2}{5}$ D、 $D (ξ) = \frac{3}{5}$

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8. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{'} (x) > 0$ ，且对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 总有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (π) < f (e) < f (2)$ B、 $f^{'} (2) < f^{'} (e) < f^{'} (π)$ C、 $f^{'} (1) < f (2) - f (1) < f^{'} (2)$ D、 $f^{'} (2) < f (2) - f (1) < f^{'} (1)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （其中 $i$ 为虚数单位，则以下结论正确的是（）．

A、 $z^{2} \geq 0$ B、 $z^{2} = \bar{z}$ C、 $z^{3} = 1$ D、 $| z | = 1$

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10. 若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{1}{4}$ ， $E (X)$ ， $D (X)$ 分别为随机变量 $X$ 的均值与方差，则下列结论正确的是（）

A、 $P (X = 1) = E (X)$ B、 $E (4 X + 1) = 4$ C、 $D (X) = \frac{3}{16}$ D、 $D (4 X + 1) = 4$

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11. 若 ${(1 - 2 x)}^{2020} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{2020} x^{2020} (x \in R)$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2019} = \frac{3^{2020} - 1}{2}$ C、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2020}}{2^{2020}} = - 1$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 2020 a_{2020} = 4040$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x + 2 ， x \geq 0 \\ - x^{2} e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有两个不相等的实根，则实数 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(- \frac{4}{e^{2}} ， 0)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{4 x^{2}})}^{6}$ 展开式中的常数项为.

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14. 某校高二年级期末测试所有学生的数学成绩 $ξ ~ N (90 ， σ^{2})$ ，且 $P (60 < ξ \leq 90) = 0.4$ ，若该校高二年级共有学生1000人，则本次测试成绩高于120分的学生人数约为.

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15. 数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为.

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16. 已知直线 $y = k x$ 是曲线 $y = e^{x}$ 的切线，也是曲线 $y = \ln x + m$ 的切线，则实数 $k =$ ，实数 $m =$ .

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四、解答题

17.

(1)、已知 $1 - \sqrt{3} i$ （其中 $i$ 为虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{a} + \frac{b}{x} = 1$ 的一个根，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？

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18. 爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量

y

（单位：

kg

）随上市天数

x

的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量

y_{i}

与上市天数

x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)

的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：

$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$
55	155.5	15.1	82.5	4.84	94.9	24.2

表中 $t_{i} = \ln x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)$ .

附：① $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ .

②对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据散点图判断

y = a + b x

与

y = c + d \ln x

哪一个更适合作为日销量

y

关于上市天数

x

的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）？

(2)、根据（1）中的判断结果及表中数据，求日销量

y

关于上市天数的回归方程，并预报上市第12天的日销量.

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19. 已知函数 $f (x) = a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 2020突如其来的疫情让我们经历了最漫长、最特殊的一个假期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后某校进行了摸底考试，某数学教师为了调查高二学生这次摸底考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的等高条形图：

附临界值表

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、根据等高条形图填写下面

2 \times 2

列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；

	数学成绩不超过120分	数学成绩超过120分	总计
每天在线学习数学不超过1小时			25
每天在线学习数学超过1小时
总计			45

(2)、从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，再随机抽取3人，求抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数

ξ

的分布列与数学期望.

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21. 一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，一轮游戏中，若“摸出的两个都是红球”出现3次获得200积分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20积分，若“摸出的两个都是红球”出现0次则扣除10积分（即获得-10积分）.

(1)、求每次游戏中，“摸出的两个都是红球”的概率 $p$ ；

(2)、设每轮游戏获得的积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的积分0相比，积分没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a {(x - 1)}^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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