山东省济宁市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ， $N = {x | y = \lg (2 x - 1)}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[\frac{1}{2}, 2]$ B、 $(\frac{1}{2}, 2]$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $[0, \frac{1}{2}]$

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2. 若随机变量 $X \sim N (3 ， σ^{2})$ 且 $P (X \geq 5) = 0.2$ ，则 $P (1 < X < 5) =$ （）

A、0.6 B、0.5 C、0.4 D、0.3

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})]$ 的值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的极大值点为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、2

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5. 函数 $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = e^{| x - m |}$ ，记 $a = f (- \ln 3)$ ， $b = f (\log_{2} 5)$ ， $c = f (2^{m})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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7. 武汉封城期间，某医院抽调5名医生，分赴三所“方舱医院”支援抗疫，要求每名医生只去一所“方舱医院”，每所“方舱医院”至少安排一名医生，由于工作需要，医生甲和乙必须安排在同一所“方舱医院”，则所有不同的安排方案有种（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、48种

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) < f^{'} (x) - 1$ ， $f (1) = e - 1$ ，则不等式 $f (x) + 1 > e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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二、多选题

9. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下，且 $E (X) = 2$ ，则下列说法正确的是（）

$X$

1

2

3

$P$

$m$

$n$

$\frac{1}{3}$

A、 $m = \frac{1}{2}$ ， $n = \frac{1}{6}$ B、 $m = \frac{1}{3}$ ， $n = \frac{1}{3}$ C、 $D (X) = \frac{2}{3}$ D、 $D (X) = \frac{1}{2}$

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10. 若 $a < b < - 1$ ， $c > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a - \frac{1}{a} < b - \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ C、 $\ln (b - a) > 0$ D、 ${(\frac{a}{b})}^{c} > {(\frac{b}{a})}^{c}$

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11. 为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球（小球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是（）

A、某顾客抽奖一次中奖的概率是 $\frac{2}{5}$ B、某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是 $\frac{98}{125}$ C、在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 $\frac{3}{10}$ D、在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 $\frac{1}{2}$

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12. 如果 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $e^{x} - 1 \geq \frac{a + \ln x}{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、2 B、 $e - 1$ C、1 D、 $\frac{2}{e}$

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三、填空题

13. $(2 - x) {(1 + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (15) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x \geq 1 \\ (1 - x) e^{x} ， x < 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - f (x) - a$ 有6个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰有1件一等品的概率是.若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到检测出三等品为止当检测停止时，恰好取出了1件一等品的概率是.

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四、解答题

17. 在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为 $2^{10}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），若 ${(2 x - 1)}^{n}$ 的展开式中，______.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} |$ 的值.

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18. 在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中3名同学答对的概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ，且每名同学答题正确与否互不影响.用 $X$ 表示乙队的总得分.

(1)、求随机变量 $X$ 的分布列；

(2)、设事件 $A$ 表示“甲队得2分，乙队得1分”，求 $P (A)$ .

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19. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期（单位：天）	$[0, 2]$	$(2, 4]$	$(4, 6]$	$(6, 8]$	$(8, 10]$	$(10, 12]$	$(12, 14]$
人数	17	43	60	50	26	3	1

(1)、该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关.

	潜伏期 $\leq 6$ 天	潜伏期 $> 6$ 天	总计
50岁以上（含50岁）			100
50岁以下		55
总计			200

(2)、将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该团队随机调查了该地区20名患者，其中潜伏期超过6天的人数为

X

，求随机变量

X

的期望和方差.

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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20. 定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，若满足： $\forall x \in D$ ， $\exists M > 0$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ ，则称 $f (x)$ 是区间 $D$ 上的有界函数，实数 $M$ 称为函数 $f (x)$ 的上界.

(1)、设 $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ ，证明： $f (x)$ 是 $[- 1, 1]$ 上的有界函数；

(2)、若函数 $g (x) = 4^{x} + a \cdot 2^{x} + 1$ 是区间 $[0, 1]$ 上，以3为上界的有界函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 根据国家统计局数据，1999年至2019年我国进出口贸易总额从3万亿元跃升至31.6万亿元，中国在国际市场上的贸易份额越来越大对外贸易在国民经济中的作用日益突出.将年份1999，2004，2009，2014，2019分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 $t$ ， $y$ 表示全国进出口贸易总额.

参考数据：

$\bar{y}$

$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$

$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$

17.14

74

555.792

① ${0.14}^{2} + {0.34}^{2} + {0.66}^{2} + {1.86}^{2} + {2.04}^{2} = 8.192$ ② ${0.14}^{2} + {0.34}^{2} + {1.86}^{2} + {2.04}^{2} + {2.14}^{2} = 12.336$ ③ $\frac{8.192}{555.792} \approx 0.0147$ ④ $\frac{12.336}{555.792} \approx 0.0222$

参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ .

(1)、根据以上统计数据及图表，给出了下列两个方案，请解决方案1中的问题.
方案1：用 $\hat{y} = b t + a$ 作为全国进出口贸易总额 $y$ 关于 $t$ 的回归方程，根据以下参考数据，求出 $y$ 关于 $t$ 的回归方程，并求相关指数 $R_{1}^{2}$ .

方案2：用 $\hat{y} = c e^{d t}$ 作为全国进出口贸易总额 $y$ 关于 $t$ 的回归方程，求得回归方程 $\hat{y} = 2.3259 e^{0.5721 x}$ ，相关指数 $R_{2}^{2}$ .

(2)、通过对比（1）中两个方案的相关指数，你认为哪个方案中的回归方程更合适，并利用此回归方程预测2020年全国进出口贸易总额.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} \ln x$ （ $a > 0$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x - y - 1 = 0$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x) < x^{2} + x \ln a$ ， $x \in (0, 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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$\bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
17.14	74	555.792

$X$	1	2	3
$P$	$m$	$n$	$\frac{1}{3}$