山东省菏泽市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. $A_{5}^{3} =$ （）

A、10 B、20 C、30 D、60

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2. 若复数z满足 $z = 1 - 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $m \geq 4$ ， $C_{m}^{3} - C_{m + 1}^{4} + C_{m}^{4} =$ （）

A、1 B、m C、 $m + 1$ D、0

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4. 若 $f (x) = 3^{x}$ ，则 $f (1) =$ （）

A、3 B、 $3 \ln 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\ln 3$

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5. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）

A、7 B、9 C、12 D、16

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6. ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数为（）

A、-40 B、160 C、-80 D、80

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7. 某导游团有外语导游10人，其中6人会说英语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说英语的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{3}{14}$

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8. 一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为 $\frac{13}{15}$ ，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{13}{18}$

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二、多选题

9. 如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（）

A、X取每一个可能值的概率是正数 B、X取所有可能值的概率和为1 C、X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和 D、X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

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10. 下列各式正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(\sin x)}^{'} = \cos x$ D、 ${(x^{- 5})}^{'} = - 5 x^{- 6}$

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11. 以下四个命题中，其中正确的是（）

A、已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 $y = a + b x$ ，若 $b = 2$ ， $\bar{x} = 1$ ， $\bar{y} = 3$ ，则 $a = 1$ . B、两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.2 x + 12$ 中，当变量x每增加一个单位时，则变量 $\hat{y}$ 平均增加0.2个单位； D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c = e^{4}$ ， $k = 0.3$

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12. 关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、存在正实数k，使得 $f (x) = k x$ 恒成立 C、函数 $y = f (x) - 2$ 有两个零点 D、对任意两个正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} < 4$

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三、填空题

13. 复数 $\frac{2 i}{1 - i} =$ ．

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14. 在240个零件中，一级品有160个，二级品有80个，用分层抽样法从中抽取容量为60的样本，一级品被抽到件.

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15. 已知 ${(x - 2)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x$ ，若 $f^{'} (1) = 3$ ，则 $a =$ ；若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ 单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知复数z满足 $z \cdot \bar{z} = 2$ ，且z的虚部为 $- 1$ ，z在复平面内所对应的点在第四象限.

(1)、求z；

(2)、求 $| z^{2} - z |$ .

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18. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为 $\frac{2}{7}$ .

(1)、求n值；

(2)、求展开式中的常数项.

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19. 随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注，下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.

	成绩优秀	成绩不够优秀	总计
选修生涯规划课	a	c	25
不选修生涯规划课	b	19
总计		29	50

参考附表：

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

参考公式 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、求a，b，c.

(2)、根据

2 \times 2

列联表，运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”.

(3)、如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求恰好抽到2名成绩不够优秀的学生的概率（将频率当作概率计算）.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x$ .

(1)、若 $a = - 3$ ，求 $f (x)$ 的极大值

(2)、曲线 $f (x)$ 若在 $x = 0$ 处的切线与曲线 $g (x) = - \ln x$ 相切，求a的值.

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21. 某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：

(1)、求a的值；并求高二这100名学生的锻炼时间的样本平均数 $\bar{x}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间大于30分钟的概率；

(3)、由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间位于 $(14.55 ， 38.45)$ 的人数，求X的数学期望.
注：①计算得 $s = \sqrt{142.75} \approx 11.95$ ；②若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1 (a \in R)$ （ $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）.

(1)、当 $a = e$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间

(2)、讨论 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上零点的个数.

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