山东省德州市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 2}$ ，集合 $B = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 4)$

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2. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a = \log_{3} 5$ ， $3^{b} = 4$ ， $3^{c} = \sqrt{3}$ 则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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3. “ $a < 0$ ”是“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $a x + 1 < 0$ ”为真命题的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到

2 \times 2

列联表如下：由此得出的正确结论是（）

	选择物理	不选择物理	总计
男	35	20	55
女	15	30	45
总计	50	50	100

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

A、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关” B、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关” C、有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关” D、有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关”

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5. 在 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、 $- \frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 \ln x}{x}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为（）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{36}{125}$ C、 $\frac{81}{125}$ D、 $\frac{63}{125}$

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8. 若函数 $f (x) = e^{x} - (a - 1) x + 1$ 在(0，1)上不单调，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， e + 1)$ B、 $[2 ， e + 1]$ C、 $(- \infty ， 2] \cup [e + 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2) \cup (e + 1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 2020年在两会重新提起了地摊经济这个概念，小王对自己在2019年各月份地摊生意的收入、支出（单位：百元）情况的做了一个折线图，如图所示，下列说法中正确的是（）

A、利润最高的月份是3月份和10月份 B、第三季度平均收入为5000元 C、收入最高值是收入最低值的2倍 D、1至2月份的支出的变化率与10至11月份的支出的变化率不同

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10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（）

A、线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3}) ， \cdot \cdot \cdot ， (x_{n} ， y_{n})$ 中的一个点 B、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $| r |$ 的值越接近于1 C、在研究母亲身高 $x$ 与女儿身高 $Y$ 的相关关系时，若相关系数 $| r | > r_{0.05}$ ，则表明有95%的把握认为 $x$ 与 $Y$ 之间具有显著线性相关关系 D、设回归直线方程为 $\hat{y} = 5 x - 8$ ，变量 $x$ 增加1个单位时， $y$ 平均增加5个单位

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11. 设随机变量 $X$ 的分布列为，其中 $a b \neq 0$ ．则下列说法正确的是（）

$X$

0

1

2

$P$

$a$

$\frac{b}{2}$

$\frac{b}{2}$

A、 $a + b = 1$ B、 $E (X) = 26$ C、 $D (X)$ 先增大后减小 D、 $D (X)$ 有最小值

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12. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 图象连续不断，且满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，则以下结论成立的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期 $T = 2$ B、 $f (2019) = f (2020) = 0$ C、点 $(1 ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上有4个零点

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = x + e^{x}$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为．

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14. 在普通高中新课程改革中，某地实施“ $3 + 1 + 2$ ”选课方案，该方案中“3”指的是语文、数学、英语为3个必选科目，“1”指的是从物理、历史2门学科中任选1门，“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，则共有种选科组合方式．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )，且 $f ({log}_{\frac{1}{2}} 4) = 3$ ，则 $a$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ， $g (x) = x^{2} - 2 m x$ ，若对任意 $x_{1} \in R$ ，存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，满足 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式的前三项的二项式系数之和为16．

(1)、求 $n$ 的值：

(2)、复数 $z$ 满足 $| z | - i = \bar{z} + 2 + \frac{3 n}{5} i$ ( $i$ 为虚数单位)，求 $z$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 时有极值0．

(1)、求常数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 0]$ 上的最值．

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19. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
捐款数额	120	80	215	50	130	195	300	90	200	225

(1)、若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；

(2)、若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望．

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20. “十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工．已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械 $x$ 千件且能全部销售完，每千件的销售收入为 $g (x)$ 万元，已知 $g (x) = {\begin{array}{l} 13.5 - \frac{1}{30} x^{2} (0 < x \leq 10) \\ \frac{168}{x} - \frac{2000}{3 x^{2}} (x > 10) \end{array}$ ．

(1)、请写出月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润．

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21. 某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
$x$	1	2	3	4	5
报考人数 $y$	30	60	100	140	170

参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 360$ ．

若随机变量 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

(1)、经分析，

y

与

x

存在显著的线性相关性，求

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

并预测2020年（按

x = 6

计算）的报考人数；

(2)、每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布

N (μ ， σ^{2})

，根据往年统计数据

μ = 385

，

σ^{2} = 225

，录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在

[385 ， 400]

之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2020年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + m \ln x + 8$ ，其中 $m > 0$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，是否存在实数 $a$ 使得 $f (x_{1}) \geq a x_{2}$ 恒成立，如果存在请求出实数 $a$ 的取值范围，如果不存在请说明理由．

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$X$	0	1	2
$P$	$a$	$\frac{b}{2}$	$\frac{b}{2}$