山东省滨州市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x (2 - x) \leq 0}$ ，则 $A \cap (C_{U} B)$ 为（）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 0}$

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2. “ $θ$ 为第一或第四象限角”是“ $\cos θ > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \ln | x + 1 |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{9}{44}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边为 $x$ 轴的非负半轴，角 $α$ 的终边绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后经过点 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知甲射击命中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙射击命中日标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，甲、乙是否命中目标相互之间无影响，现在甲、乙两人同时射击目标一次，则目标被击中的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

	患病	未患病	总计
服用药	10	45	55
没服用药	20	30	50
总计	30	75	105

据此推断药物有效，则这种推断犯错误的概率不超过（）

附表及公式：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

A、0.025 B、0.010 C、0.005 D、0.001

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8. 已知 $2 \sin α + \cos α = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ， $α \in R$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ 或3 D、-3或 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 已知 $i$ 为虚数单位，则下面命题正确的是（）

A、若复数 $z = 3 + i$ ，则 $\frac{1}{z} = \frac{3}{10} - \frac{i}{10}$ B、复数 $z$ 满足 $| z - 2 i | = 1$ ， $z$ 在复平面内对应的点为 $(x ， y)$ ，则 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ C、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $z_{1} z_{2} \geq 0$ D、复数 $z = 1 - 3 i$ 的虚部是3

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10. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为 $y = g (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 上单调递减 D、函数 $g (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有4个极值点

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11. 2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）

A、若 $C$ 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B、若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C、若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 $A$ 企业，则所有不同分派方案共12种 D、所有不同分派方案共 $4^{3}$ 种

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12. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 是奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为2 B、 $- 1 < x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x$ C、 $f (x)$ 在 $[11 ， 13]$ 上单调递增 D、 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 8 k ， 4 k - 1 < x \leq 4 k + 1 \\ - 2 x + 8 k + 4 ， 4 k + 1 < x \leq 4 k + 3 ， \end{array} (k \in Z)$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (X > 0) =$ .

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x - 1) ， x > 1 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{2021}{2020})) =$ .

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15. 已知a ， b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x₀ ， y₀)，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是.

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16. ${(x + \frac{2}{x} - 1)}^{5}$ 的展开式中各项系数之和为；展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为（用数字作答）.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ O A B$ 中， $P$ 为边 $A B$ 上的一点 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ ， $| \vec{O A} | = 6$ ， $| \vec{O B} | = 2$ 且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $60 °$ .

(1)、设 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、求 $\vec{O P} \cdot \vec{A B}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{m^{x} + 1} (m > 0)$ ，且 $f (2) = \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $m$ 的值，并指出函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上的单调性（只需写出结论即可）；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 是奇函数；

(3)、若 $f (m^{2}) + f (2 m - 3) < 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
分年代码 $x$	1	2	3	4	5
某新能源车年销量 $y$ （万辆）	1.5	5.9	17.7	32.9	55.6

附：最小二乘估计公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$

参考数据（下面的 $ω_{i} = x_{i}^{2}$ ， $\bar{ω} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} ω_{i}$ ） $\bar{y} = 22.72$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 135.2 ，$ $\sum_{i = 1}^{5} {(ω_{i} - \bar{ω})}^{2} = 374$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (ω_{i} - \bar{ω}) (y_{i} - \bar{y}) = 851.2$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 5.86$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 1943$

(1)、某位同学根据以上数据和散点图，得出

y

与

x

的销售（万辆）两种回归模型①

y = b x + a

，②

y = c x^{2} + d

，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).

(3)、我们可以用

R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}

来刻画模型的拟合效果，

R^{2}

越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线

y = m e^{n x}

的附近，用非线性回归模型求得

y

关于

x

的回归方程为

\hat{y} = 0.84 e^{0.90 x}

，且

R^{2} = 0.9588

.试与（2）中所求的回归模型比较，请用

R^{2}

说明哪种模型的拟合效果更好.

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，（ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为 $4 π$ .

(1)、从① $f (- \frac{π}{3}) = 0$ ；② $f (- \frac{2 π}{3}) = - 1$ ；③ $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ 这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求（1）中所求得的函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值.

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21. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位

X

（单位：米）的频率分布表如下：

最高水位 $X$ （单位：米）	$[23 ， 25)$	$[25 ， 27)$	$[27 ， 29)$	$[29 ， 31)$	$[31 ， 33]$
频率	0.15	0.44	0.36	0.04	0.01

将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立.

(1)、求在未来3年里，至多有1年河流最高水位

X \in [25 ， 29)

的概率；

(2)、该河流对沿河一蔬菜科植户影响如下：当

X \in [23 ， 25)

时，因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当

X \in [29 ， 33]

时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失.现有三种应对方案：

方案一：不采取措施，蔬菜销售收入情况如下表：

最高水位 $X$ （单位：米）	$[23 ， 25)$	$[25 ， 29)$	$[29 ， 33]$
蔬菜销售收入（单位：元）	40000	120000	0

方案二：只建设引水灌溉设施，每年需要建设费5000元，蔬菜销售收入情况如下表；

最高水位 $X$ （单位：米）	$[23 ， 25)$	$[25 ， 29)$	$[29 ， 33]$
蔬菜销售收入（单位：元）	70000	120000	0

方案三：建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费7000元，蔬菜销售收入情况如下表：

最高水位 $X$ （单位：米）	$[23 ， 25)$	$[25 ， 29)$	$[29 ， 33]$
蔬菜销售收入（单位：元）	70000	120000	70000

已知每年的蔬菜种植成本为60000元，请你根据三种方案下该蔬菜种植户所获利润的均值为依据，比较哪种方案较好，并说明理由.

（注：蔬菜种植户所获利润＝蔬菜销售收入－蔬菜种植成本－建设费）

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22. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - \cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[π ， 2 π]$ 上的最大值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2 π)$ 上的零点的个数.

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