内蒙古赤峰市2019-2020学年下学期期末高二下学期理数联考试卷（A）

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{z} = - i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 为纯虚数 B、 $z$ 的虚部为 $- \frac{1}{2} i$ C、在复平面内 $z$ 对应的点位于第三象限 D、 $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. “直线 $a x + 2 y + 4 = 0$ 和直线 $3 x + (a - 1) y - 2 = 0$ 平行”是“ $a = 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 根据如下样本数据：

$x$

2

3

4

5

6

$y$

4

2.5

-0.5

-2

-3

得到的回归方程为 $\hat{y} = b x + a$ ，则（）

A、 $a > 0$ ， $b > 0$ B、 $a > 0$ ， $b < 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$

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4. ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{4}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-32 B、32 C、-8 D、8

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5. 一个教室有6盏灯，一个开关控制1盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法共有（）

A、64种 B、36种 C、35种 D、63种

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6. 将两颗骰子各掷一次，设事件 $A =$ “两个点数都不相同”， $B =$ “至少出现一个5点”，则概率 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{10}{11}$ B、 $\frac{5}{11}$ C、 $\frac{5}{18}$ D、 $\frac{5}{36}$

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7. “数据聚清风，一捻秋意”是宋朝朱翌撰写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又由“换袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，设 $O A = \frac{2}{3} O B$ ，若在整个扇形区域内随机取一点.则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 过点 $(- 2, \sqrt{3})$ 的直线 $l$ 将圆 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 25$ 分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小时，则该直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 设抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 是 $C$ 上的一点且在第一象限，以 $F$ 为圆心，以 $F A$ 为半径的圆交 $C$ 的准线于 $B$ ， $D$ 两点，且 $A$ ， $F$ ， $B$ 三点共线，则点 $A$ 的横坐标为（）

A、8 B、12 C、10 D、6

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10. 若函数 $f (x) = a e^{x} - x$ 存在极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0]$

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11. 设常数 $a > 0$ ，动点 $M (x, y) (y \neq 0)$ 分别与两个定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0)$ 的连线的斜率之积为定值 $λ$ ，若动点 $M$ 的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线，则 $λ =$ （）

A、-3 B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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12. 若曲线 $y = e^{x} + \frac{m}{x + 1} (x < - 1)$ 上存在两条垂直于 $y$ 轴的切线，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{e^{3}} ， 1)$ B、 $(- \infty ， \frac{4}{e^{3}})$ C、 $(0 ， \frac{4}{e^{3}})$ D、 $(- 1 ， \frac{4}{e^{3}})$

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二、填空题

13. 若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $ξ + η = 5$ ， $ξ ~ B (10, 0.6)$ ，则 $E (η) =$ .

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14. 一位篮球运动员投篮一次得3分概率为 $a$ ，得2分概率为 $b$ ，不得分概率为 $c$ ， $a, b, c \in (0, 1)$ .若他投篮一次得分的期望为1，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为.

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15. 设圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 1)$ 与 $x$ 轴负半轴的交点为 $M$ ，过点 $M$ 且斜率为3的直线 $l$ 与圆 $C$ 的另一交点为 $N$ ，若 $M N$ 的中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上，则 $| M N | =$ .

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 的各顶点都在同一球面上， $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ，若 $P C = A C = 1$ ， $A B = 2$ ，且 $∠ B A C = 60 °$ ，给出如下命题：
① $△ A C B$ 是直角三角形；②此球的表面积等于 $11 π$ ；

③ $A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；④三棱锥 $A - P B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

其中正确命题的序号为.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴的正半轴上，半径为2.且被直线 $l : 4 x - 3 y - 3 = 0$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是直线 $x + y + 4 = 0$ 上动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A$ ，切点为 $A$ ，证明：经过 $A$ ， $P$ ， $C$ 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标.

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18. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了同卷调查，得到了如下列联表：

	男性	女性	合计
爱好		6
不爱好	6
合计	16		30

(1)、请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程）；

(2)、能否有95%的把握认为爱好运动与性别有关？

(3)、若在接受调查的所有男生中按照“爱好与不爱好运动”进行分层抽样，现随机抽取8人，再从8人中抽取3人，求至少有2人“爱好运动”的概率.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010	0.005
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879

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19. 如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形.四边形 $A D P Q$ 是梯形 $P D // Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A$ .

(1)、求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求二面角 $C - P B - D$ 的大小.

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20. 设函数 $f (x) = a x + \frac{3}{x} - 2 \ln x - a$ ， $a \in R$ .
（参考数值： $\ln 2 = 0.693$ ）

(1)、证明：函数 $f (x)$ 的图象经过一个定点 $A$ ，并求出点 $A$ 的切线方程；

(2)、若 $f^{'} (2) = - \frac{3}{4}$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 的值域.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上第一象限内的一点，且直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、过点 $Q (2, 0)$ 作一条斜率为负数的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 从左到右依次交于 $A$ ， $B$ 两点.是否存在实数 $λ$ ，使得 $∠ A F_{2} B = λ ∠ B F_{2} P$ 恒成立.若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 5 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = - \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 4 \sin (θ - \frac{π}{3})$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在圆 $C$ 上，求 $\sqrt{3} x - y$ 的取值范围.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x + a | (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < \frac{1}{x} + a$ 在区间 $[\frac{1}{3}, 2]$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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$x$	2	3	4	5	6
$y$	4	2.5	-0.5	-2	-3