辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 1 + 3 i$ ，则 $z$ 的模等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ， $B = {x | x \geq 3}$ ，则 $A \cup C_{R} B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[1, 3)$ C、 $(- \infty, 5]$ D、 $(3, 5]$

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3. 命题 $p : \forall x \geq 0$ ，都有 $e^{x} \geq - x + 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \geq 0$ ，都有 $e^{x} < - x + 1$ B、 $\forall x < 0$ ，都有 $e^{x} \geq - x + 1$ C、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $e^{x} < - x_{0} + 1$ D、 $\exists x_{0} < 0$ ， $e^{x} < - x_{0} + 1$

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4. 复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 2 i}$ 则在复平面内，z对应的点的坐标是（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \frac{5}{3}, - \frac{4}{3})$ D、 $(- \frac{4}{3}, - \frac{5}{3})$

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5. 下列函数中与函数 $y = x$ 相等的函数是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ D、 $y = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2}{x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(0, 2]$ D、 $[1, 2]$

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7. 已知 $a \in R$ ，则“ $a = - 2$ ”是“ ${(4 x - \frac{a^{2}}{x})}^{4}$ 展开式各项系数和为0”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 3$ ，则 $f (x + 1)$ 的解析式为（）

A、 $x + 4 (x \geq 0)$ B、 $x^{2} + 3 (x \geq 0)$ C、 $x^{2} - 2 x + 4 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} + 3 (x \geq 1)$

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9. 直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a > 0, b > 0)$ 经过点（3，2），则 $2 a + 3 b$ 的最小值为（）

A、12 B、36 C、24 D、48

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10. 函数 $f (x) = \frac{| x^{3} | - \ln | x |}{x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若函数 $f (x)$ 对 $\forall a$ 、 $b \in R$ ，同时满足：（1）当 $a + b = 0$ 时有 $f (a) + f (b) = 0$ ；（2）当 $a + b > 0$ 时有 $f (a) + f (b) > 0$ ，则称 $f (x)$ 为 $Ω$ 函数．下列函数中：① $f (x) = x - \sin x$ ；② $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ；③ $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ；④ $f (x) = {\begin{array}{l} 0 ， x = 0 \\ - \frac{1}{x} ， x \neq 0 \end{array}$ .是 $Ω$ 函数的为（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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12. f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+x•f'（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（）

A、（﹣3，0）∪（3，+∞） B、（﹣3，0）∪（0，3） C、（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D、（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

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二、填空题

13. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x + a - 1$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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14. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有：种．

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15. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，满足对于任意正实数 $x$ ， $y$ 恒有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (3) = 1$ ，如果对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) \cdot [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则不等式 $f (x) + f (x - 8) < 2$ 的解集是．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x + 1$ ，若对于 $\forall x \in R$ 不等式 $f (a x - e^{x} + 2 a) \leq 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为：．

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三、解答题

17. 在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：

(1)、取出的3个球中红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 8 \ln x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值 $；$

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值．

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19. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ， B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.

下面的临界值表仅供参考.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ， B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；

(2)、填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.

	优质花苗	非优质花苗	合计
甲培育法	20
乙培育法		10
合计

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20. 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 $x$ （元）与销量 $y$ （杯）的相关数据如下表：

单价 $x$ （元）

8.5

9

9.5

10

10.5

销量 $y$ （杯）

120

110

90

70

60

附：线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 4195$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 453.75$ .

(1)、已知销量 $y$ 与单价 $x$ 具有线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{(x^{2} + a x - a)}{e^{x}}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 的极大值恒大于0.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{\ln x}{a} - \frac{m^{2}}{2}$ .
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，求证：对任意 $m \in [- 2 ， 2]$ ，函数 $f (x)$ 的图象均在 $x$ 轴上方.

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单价 $x$ （元）	8.5	9	9.5	10	10.5
销量 $y$ （杯）	120	110	90	70	60