辽宁省辽阳市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $($ $)$

A、 $z$ 的虚部为 $2 i$ B、 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、 $z > 2 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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2. 从7个人中选3个人参加演讲比赛，则不同的选法种数为（）

A、21 B、30 C、35 D、40

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3. 若集合 $A = {x | y = \sqrt{8 - 4 x}}$ ， $B = {x | (3 x + 5) (2 x - 7) ⩽ 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[\frac{5}{3} ， 2]$ B、 $(- \infty ， - \frac{5}{3}]$ C、 $[2 ， \frac{7}{2}]$ D、 $[- \frac{5}{3} ， 2]$

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4. 设命题 $p ： \exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $l n (3 x_{0} + 1) > x_{0}$ ，则 $\neg p$ 为 $($ ）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $l n (3 x + 1) ⩽ x$ B、 $\exists x_{0} \in (- \infty$ ， $0]$ ， $l n (3 x_{0} + 1) > x_{0}$ C、 $\forall x \in (- \infty$ ， $0]$ ， $l n (3 x + 1) ⩽ x$ D、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $l n (3 x + 1) > x$

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5. 设 $z = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) (1 + a i) (a \in R)$ ，则“ $a < \frac{1}{2}$ ”是“z的实部大于零”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若X～B（20，0.3），则（）

A、E（X）＝3 B、P（X≥1）＝1﹣0.3²⁰ C、D（X）＝4 D、P（X＝10） $= C_{20}^{10} \times {0.21}^{10}$

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7. 已知a＜b＜0，c＞d＞0，则下列结论正确的是（）

A、ac＞bd B、a+d＞b+c C、 $\frac{a}{d}$ ＜ $\frac{b}{c}$ D、a²＜b²

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8. ${(x^{\frac{9}{4}} - \frac{1}{x})}^{13}$ 的展开式的常数项为（）

A、615 B、﹣615 C、715 D、﹣715

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9. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \sin (2 x - 2)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1$ ， $f (- 1))$ 处的切线的斜率为 $($ $)$

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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10. 设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位： $m m)$ 服从正态分布 $N (75 ， 16)$ ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在 $(79$ ， $83]$ 内的个数约为 $($ $)$
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) = 0.9545$ ．

A、134 B、136 C、817 D、819

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11. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $(3 + \frac{2}{a}) (8 + \frac{2}{b})$ 的最小值为（ $)$

A、36 B、42 C、49 D、60

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且 $f (x) > (2 x + 4 \sqrt{x}) f^{'} (x)$ ，则不等式 $f (x) (\sqrt{2 x - 3} + 2) < f (2 x - 3) (\sqrt{x} + 2)$ 的解集为 $($ $)$

A、 $(\frac{3}{2} ， 3)$ B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. ${(5 x - 6)}^{7}$ 的展开式的各项系数之和为.

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14. 若集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {x | x ⩽ \sqrt{m + 1}}$ ， $A \cup B = R$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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15. 五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + (x - 2) \cos x - \sin x$ 在 $x = a$ 处取得最小值m，函数 $g (x) = 4 \sqrt{x}$ ，则 $m =$ ，曲线 $y = g (x)$ 在点 $(a ， g (a))$ 处的切线的斜率为.

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三、解答题

17. 设复数 $z = \frac{2 - 3 i}{1 + 2 i}$ .

(1)、求z的共轭复数 $\bar{z}$ ；

(2)、设 $a \in R$ ， $| z + a i | = 1$ ，求 $a$ 的值.

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18. 某地一所妇产科医院为了解婴儿性别与出生时间（白天或晚上）之间的联系，从该医院最近出生的200名婴儿获知如下数据：这200名婴儿中男婴的比例为55%，晚上出生的男婴比白天出生的男婴多75%，晚上出生的女婴人数与白天出生的男婴人数恰好相等.

(1)、根据题意，完成下列2×2列联表；

出生时间婴儿性别	白天	晚上	合计
男
女
总计			200

(2)、根据列联表，判断能否有99%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关，说明你的理由.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （n＝a+b+c+d），参考数据： $\frac{19^{2}}{99^{2}}$ ≈0.0368.

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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19. 设 $x > 1$ ，且 $x + \frac{4}{49 (x - 1)} - 1$ 的最小值为 $m$ ．

(1)、求 $m$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - a x + m ⩾ 0$ 的解集为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围．

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20. 甲、乙两名射箭选手最近100次射箭所得环数如下表所示.
甲选手100次射箭所得环数

环数

7

8

9

10

次数

15

24

36

25

乙选手100次射箭所得环数

环数

7

8

9

10

次数

10

20

40

30

以甲、乙两名射箭选手这100次射箭所得环数的频率作为概率，假设这两人的射箭结果相互独立.

(1)、若甲、乙各射箭一次，所得环数分别为X ， Y ，分别求X ， Y的分布列并比较 $E (X) ， E (Y)$ 的大小；

(2)、甲、乙相约进行一次射箭比赛，各射3箭，累计所得环数多者获胜.若乙前两次射箭均得10环，且甲第一次射箭所得环数为9，求甲最终获胜的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} - 2 \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的最大值为1，求a的值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - m) e^{x - m}$ .

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若 $\ln x < \frac{x}{a} e^{\frac{x^{2}}{a}}$ 对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围.

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环数	7	8	9	10
次数	15	24	36	25

环数	7	8	9	10
次数	10	20	40	30