辽宁省锦州市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集为R，集合 $A ＝ {x | - 1 < x < 3}$ ， $B ＝ {x | x \geq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 一物体做直线运动，其位移 $s$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）的关系是 $s = - t^{2} + 5 t$ ，则该物体在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为（）

A、3 B、7 C、6 D、1

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} (- x^{2} + 2 x + 3)$ 的单调减区间是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $(1 ， 3)$

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4. 记 $a = e^{e} ， b = π^{π} ， c = e^{π}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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5. 设函数 $f (x)$ 为奇函数且满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x (1 - x)$ ，则 $f (- \frac{5}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 在某项测试中，测量结果 $ξ$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (0 < ξ < 1) = 0.4$ ，则 $P (0 < ξ < 2) =$ （）

A、0.4 B、0.8 C、0.6 D、0.2

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7. 已知 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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8. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件 $A =$ “取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件 $B =$ “取出的重卦中恰有3个阳爻”.则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{32}$ D、 $\frac{20}{57}$

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9. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | + 2 ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x - 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - 4 f (x) - b = 0$ 有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 5)$ B、 $[12 ， + \infty)$ C、 $(5 ， 12]$ D、 $(- 4 ， 12]$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} ， g (x) = x e^{- x}$ .若存在 $x_{1} \in (0 ， + \infty) ， x_{2} \in R ，$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) < 0$ 成立，则 $x_{1} x_{2}$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{2}{e}$ C、 $- \frac{2}{e^{2}}$ D、 $- \frac{1}{e}$

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二、多选题

11. 某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）

A、四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 $\frac{5}{18}$ B、四人去了同一餐厅就餐的概率为 $\frac{1}{1296}$ C、四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为 $\frac{25}{216}$ D、四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为 $\frac{2}{3}$

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12. 函数f(x)=e^x+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）

A、当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0 B、当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x₀且－1＜f(x₀)＜0 C、对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点 D、存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点

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三、填空题

13. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为.

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14. 幂函数 $f (x) = x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减且为偶函数，则整数m的值是.

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15. 若 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 2 x + \frac{1}{x}$ 对任意非零实数 $x$ 恒成立，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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16. 设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ （ $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ， $a \neq 0$ ）若不等式 $x f^{'} (x) - a f (x) \leq 2$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ = ， $\frac{b + c}{a}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 求下列各式的值

(1)、 ${(2 \frac{7}{9})}^{\frac{1}{2}} - {(\lg 5)}^{0} + {(\frac{27}{64})}^{- \frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\log_{4} 9 - \log_{2} \frac{3}{32} + 2^{\log_{2} 3} + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$ .

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18. 函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 2 x - 3)$ 的定义域为集合A，函数 $g (x) = 2^{x} - a (x ⩽ 2)$ 的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；

（Ⅱ）若集合A，B满足 $A \cap B = B$ ，求实数a的取值范围．

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19. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

(1)、求这500名患者潜伏期的平均数（同组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

(2)、为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格，

（i）请将表格补充完整：

	短潜伏者	长潜伏者	合计
60岁及以上	90
60岁及以下			140
合计			300

（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取三人做Ⅱ期临床试验，设三人中所含“短潜伏者”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

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20. 甜皮鸭，乐山人称卤鸭子，也称嘉州甜皮鸭，是乐山著名美食，起源于乐山市夹江县木城古镇，每年吸引成千上万的外地人前来品尝.某商家生产卤鸭子，每公斤鸭子的成本为20元，加工费为 $t$ 元（ $t$ 为常数），且 $10 \leq t \leq 15$ ，设该商家每公斤卤鸭子的售价为 $x$ 元（ $35 \leq x \leq 45$ ），日销售量 $q$ （单位：公斤），且 $(0 ， + \infty)$ （ $e$ 为自然对数的底数）.根据市场调查，当每公斤卤鸭子的出售价为40元时，日销售量为50公斤.

(1)、求该商家的每日利润 $y$ 元与每公斤卤鸭子的出售价 $x$ 元的函数关系式；

(2)、若 $t = 15$ ，当每公斤卤鸭子的出售价 $x$ 为多少元时，该商家的利润 $y$ 最大，并求出利润的最大值．

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21. 水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为 $18 m^{2}$ ，经过3个月其覆盖面积为 $27 m^{2}$ . 现水葫芦覆盖面积 $y$ （单位 $m^{2}$ ）与经过时间 $x (x \in N)$ 个月的关系有两个函数模型 $y = k a^{x} (k > 0, a > 1)$ 与 $y = p x^{\frac{1}{2}} + q (p > 0)$ 可供选择.
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732, \lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ）

（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.

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22. 已知函数f（x）＝x²﹣x+alnx（a＜0），且f（x）的最小值为0.

(1)、求实数a的值；

(2)、若直线y＝b与函数f（x）图象交于A，B两点，A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂）），且x₁＜x₂ ， A，B两点的中点M的横坐标为x₀ ，证明：x₀＞1.

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