辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x < 3}, B = {x | \sqrt{x} \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 3}$ B、 ${x | 0 \leq x < 3}$ C、 ${x | 0 < x < 3}$ D、 ${x | x \leq 4}$

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2. 在复平面内，复数 $i (i - a)$ 对应的点的坐标为 $(- 1, 2)$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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3. 设 $m, n \in R$ ，则“ $m > n$ ”是 ${(\frac{1}{2})}^{m - n} < 1$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大基于以上现象，开学后某学校对本校学生网课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下

2 \times 2

列联表：

	认真上网课	不认真上网课	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

通过以上数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（）

参考公式： $X^{2} = \frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{3 +} n_{4 +}}$

$P (X^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

A、有关的可靠性不足95% B、有99%的把握认为两者有关 C、有99.9%的把握认为两者有关 D、有5%的把握认为两者无关

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5. 设函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，且 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 3 Δ x) - f (x_{0})}{2 Δ x} = 1$ ，则 $f^{'} (x_{0})$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、1 D、-1

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6. 已知 $a = e^{- \frac{1}{3}}, b = \ln \frac{1}{3}, c = \log_{\frac{1}{e}} \frac{1}{3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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7. 从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 $a, b$ ，共可得到 $\lg a - \lg b$ 的不同值的个数是（）

A、20 B、18 C、10 D、9

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8. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多选题

9. 复数 $z$ 满足 $\frac{2 + 3 i}{3 - 2 i} \cdot z + 3 i = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的实部为 $- 3$ B、 $z$ 的虚部为2 C、 $\bar{z} = 3 - 2 i$ D、 $| z | = \sqrt{13}$

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10. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对任意的 $x \in R$ 恒有 $f (x + 2) = f (x - 1)$ ，已知当 $x \in [0, \frac{3}{2}]$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{1 - x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、3是函数 $f (x)$ 的周期 B、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{3}{2}, 3)$ 上递减，在 $(3, \frac{9}{2})$ 上递增 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ，最小值为0 D、当 $x \in (3, \frac{9}{2})$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{- x - 2}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2020^{x} + \log_{2020} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 2020^{- x} + 1$ ，则下列在关于 $x$ 的不等式 $f (2 x + 1) + f (x + 1) - 2 > 0$ 解集中的有（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{7}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 n x, & x > 0 \\ 3 x + 1, & x \leq 0 \end{array}$ ，若直线 $y = k x$ 与 $y = f (x)$ 交于三个不同的点 $A (a, f (a)), B (b, f (b)), C (c, f (c))$ （其中 $a < b < c$ ），则 $b + \frac{1}{a} + 3$ 的可能值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f^{'} (1) + \ln x$ ﹐则 $f^{'} (1) =$ ．

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14. 《中国诗词大会》（第三季）将《沁园春•长沙》《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》排在后六场.要求将《沁园春•长沙》排在最后，同时《蜀道难》排在《游子吟》的前面且二者必须相邻，这六场的排法共有.

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15. 对于函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ ，若存在 $λ \in {x | f (x) = 0}$ ， $μ \in {x | g (x) = 0}$ ，使得 $| λ - 1 | + | μ - 1 | \leq 3$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为“相关零点函数”.现已知函数 $f (x) = e^{x - 3} + x - 4$ 与 $g (x) = x^{2} - m x - x + 4$ 互为“相关零点函数”，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 若 ${(3 x^{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为256，则 $n =$ ；展开式中常数项是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + a x + 2 (a \in R)$ 为偶函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 ${(a x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x + a ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点（0，1）处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间.

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19. 随着科学技术和电子商务的发展，近年来人们的购物方式发生了翻天覆地的变化，网络购物成为当下流行的购物方式，同时网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，除了各大商场逐渐萧条外，居民区的蔬菜水果市场受到一定程度的影响.统计部门为了解市场情况以及查找原因，在民安社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”的家庭（方式甲）和“利用网络购买水果蔬菜”的家庭（方式乙）进行抽样调查统计：从民安社区随机抽取了100户家庭进行调查研究，将消费金额（元）按照大于

0

元且不超过1000元、超过1000元且不超过2000元、超过2000元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有

5

户.统计结果如下表：

消费群体购买方式	低消费群体	中等消费群体	高消费群体
仅方式甲	16户	8户	1户
仅方式乙	14户	13户	3户
两种方式都用	20户	187户	2户

(1)、从民安社区随机抽取户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率；

(2)、从样本中的高消费群体里任取3户，用

ξ

来表示这3户中仅用方式乙的家庭，求

ξ

的分布列和数学期望；

(3)、将上个月样本数据中的频率视为概率.现从民安社区（民安社区家庭数量很多）随机抽取4户，发现有3户本月的消费金额都在2000元以上.根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化?说明理由.

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20. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{e^{x} - b}{e^{x + 1} + a}$ 是奇函数.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若对任意的 $t \in [0, 1]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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21. “全面小康路上一个也不能少”是习近平总书记向全国人民作出的郑重承诺！是对全面建成小康社会的形象表达，其中一个重要指标，就是到2020年我国现行标准下农村贫困人口全面脱贫.目前，全国还有一些贫困县未摘帽，不少贫困村未出列，建档立卡贫困人口尚未全部脱贫.某市为了制定下一步扶贫战略，统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入，并绘制了如下频率分布直方图：

(1)、若这1000户家庭中，家庭年纯收入不低于5（千元）的家庭，且不超过7（千元）的户数为40户，请补全频率分布图，并求出这1000户家庭的年纯收入的平均值 $\bar{X}$ （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

(2)、由频率分布直方图，可以认为这1000户的家庭年纯收入 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为年纯收入的平均值 $\bar{X} ， σ^{2}$ 近似为样本方差，经计算知 $σ^{2} = 9.26$ ；设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为 $x$ 千元（即家庭年纯收入大于 $x$ 千元，则该户家庭实现脱贫，否则未能脱贫），若根据此正态分布估计，这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，试求该市的脱贫标准 $x$ ；

(3)、若该市为了加大扶贫力度，拟投入一笔资金，帮助未脱贫家庭脱贫，脱贫家庭巩固脱贫成果，真正做到“全面小康路上一个也不能少”，方案如下：对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元，对家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元，对家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭每户家庭给予扶持资金8千元，对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持，设 $Y$ 为每户家庭获得的扶持资金，求 $E (Y)$ （结果精确到0.001）.
附：若随机变量 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) = 0.6827 ， P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) = 0.9545 ， \sqrt{9.26} \approx 3.04$ .

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22. 设函数 $f (x) = 2 a \ln x - x^{2}$ ，其中实数 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[\sqrt{e}, e^{2}]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = e^{x + m} - x^{2} - 2 x - 3$ ，证明：当 $a = \frac{1}{2}$ 时，对于 $\forall m \in [1, + \infty)$ 都有 $f (x + 1) < g (x)$ .

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