辽宁省多校联盟2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某同学收到的生日礼物中有同样的迷你风扇3个，同样的迷你优盘2个，从这5个礼物中取出4个，赠送给4位朋友每位朋友1个，则不同的赠送方法共有（）种

A、5 B、6 C、10 D、12

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2. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1$ ，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} = 3$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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3. 已知随机变量 $X \sim N (0, σ^{2})$ ，若 $P (0 < X < 1) = 0.4$ ，则 $P (| X | > 1)$ 的值为（）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.6

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4. 已知曲线 $y = e^{x}$ 的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（）

A、e B、 $- e$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $- \frac{1}{e}$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{\ln | x |}{x}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 相关变量 $x ， y$ 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程 $y = b_{1} x + a_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ；方案二：剔除点 $(10 ， 21)$ ，根据剩下数据得到线性回归直线方程： $y = b_{2} x + a_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ .则（）

A、 $0 < r_{1} < r_{2} < 1$ B、 $0 < r_{2} < r_{1} < 1$ C、 $- 1 < r_{1} < r_{2} < 0$ D、 $- 1 < r_{2} < r_{1} < 0$

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7. ${(2 x^{2} - x - 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、400 B、120 C、80 D、0

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8. 本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）

A、72种 B、144种 C、288种 D、360种

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9. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 $\frac{1}{7}$ ，都是白子的概率是 $\frac{12}{35}$ ，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{12}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{18}{35}$

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10. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 $ξ_{1}$ ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 $ξ_{2}$ ，则（）

A、 $E ξ_{1} < E ξ_{2}$ ， $D ξ_{1} < D ξ_{2}$ B、 $E ξ_{1} = E ξ_{2}$ ， $D ξ_{1} > D ξ_{2}$ C、 $E ξ_{1} = E ξ_{2}$ ， $D ξ_{1} < D ξ_{2}$ D、 $E ξ_{1} > E ξ_{2}$ ， $D ξ_{1} > D ξ_{2}$

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11. 下列说法：
①设有一个回归方程 $\hat{y} = 3 - 5 x$ ，变量 $x$ 增加一个单位时， $y$ 平均增加5个单位；②线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；③设某地女儿身高 $y$ 对母亲身高 $x$ 的一个回归直线方程是 $\hat{y} = 34.92 + 0.78 x$ ，则方程中的 $\hat{a} = 34.92$ 可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.

其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 函数 $f (x) = a e^{x} + 2 x$ 在 $R$ 上有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \geq 2$ ，则实数a的最小值为（）

A、 $- \frac{\ln 2}{2}$ B、 $- \ln 2$ C、 $- \frac{2}{e}$ D、 $\ln 2$

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二、填空题

13. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} + {(1 + x)}^{6} + {(1 + x)}^{7} + {(1 + x)}^{8}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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14. 已知 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x) = 2^{x} + \sin x$ 的导函数，则 $f^{'} (0) =$ .

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15. 改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z₁（单位：分钟）服从正态分布N（33，4²），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z₂（单位：分钟）服从正态分布N（44，2²），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是.
参考数据：若Z～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974

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16. 在遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数 $a$ 和 $b$ ， $a$ 的所有除本身以外的因数之和等于 $b$ ， $b$ 的所有除本身以外的因数之和等于 $a$ ，则称 $a$ ， $b$ 是一对亲和数.220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数.若分别在220和284的所有除本身以外的因数中各取一个数，取出的两个数相同的概率为；在取出的两个数不相同的条件下和大于180的概率为.

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三、解答题

17. 在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为 $4^{7}$ ，③各项系数之和为 $4^{14}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 $k$ 存在，求 $k$ 的值；若 $k$ 不存在，说明理由.
设二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x^{3}})}^{n}$ ，若其展开式中， ▲ ，是否存在整数 $k$ ，使得 $T_{k}$ 是展开式中的常数项？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n \ln x$ （ $x > 0$ ，实数m ， n为常数）.

(1)、若 $n + 10 m^{2} = 0$ （ $m > 0$ ），且 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的最小值为0，求m的值；

(2)、若 $\forall a \in [1 ， 3]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， a + 1)$ 上总是减函数，求m的最大值 $h (n)$ .

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19. 2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

	未感染病毒	感染病毒	总计
未注射疫苗	40	$p$	$x$
注射疫苗	60	$q$	$y$
总计	100	100	200

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 $\frac{3}{5}$ .

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (c + d) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq K_{0})$	0.05	0.01	0.005	0.001
$K_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、求

2 \times 2

列联表中的数据

p

，

q

，

x

，

y

的值；

(2)、能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？

(3)、在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.

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20. 设 $f (x) = x e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x) = \ln x + x - x^{2} + 1 - \frac{e}{a}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(3)、当 $a > 0$ 时，设 $h (x) = f (x) - a g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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21. 某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，每台仪器被每位专家评议为“可靠”的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且每台仪器是否可靠相互独立．

(1)、当 $p = \frac{4}{5}$ ，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = (1 + \ln x) e^{- x}$ ，无理数 $e$ 是自然对数的底数.

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = [1 - x^{2} - (x + x^{2}) \ln x] e^{- x}$ ，证明：对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $g (x) < 1 + e^{- 2}$ .

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