辽宁省大连市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 随机变量X的分布列如表，则D（X）＝（）

X

0

1

P

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 用数学归纳法证明： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，从n=k推证 $n = k + 1$ 时，左边增加的代数式是（）

A、 $4 k + 3$ B、 $4 k + 2$ C、 $2 k + 2$ D、 $2 k + 1$

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3. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和若a₄+a₅＝24，S₆＝60，则等差数列{a_n}的公差应为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩 $X ~ N (90 ， σ^{2})$ ，已知 $P (70 < X ⩽ 90) = 0.35$ ，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）

A、0.15 B、0.50 C、0.70 D、0.85

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，则 $f (x)$ 的极大值点为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 掷骰子2次，每个结果以 $(x_{1} ， y_{1})$ 记之，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设 $A = {(x_{1} ， x_{2}) | x_{1} + x_{2} = 6}$ ， $B = {(x_{1} ， x_{2}) | x_{1} > x_{2}}$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若 ${(x^{2} + \frac{a}{x^{3}})}^{5}$ 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）

A、1 B、5 C、10 D、20

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $n S_{n} = n S_{n - 1} + a_{n} + \frac{1}{n + 1} (n \geq 2)$ ，若 $S_{m} > \frac{13}{8}$ ，则m的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 为了促进西部某地区医疗事业的发展，某市准备派6名医生支援当地的三所医院，若向每所医院至少派一名医生且不多于3名医生，则不同的安排方法有（）

A、450种 B、540种 C、900种 D、1080种

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11. 已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x) - x f^{'} (x) > 0$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则下列不等式中一定成立的是 $($ $)$

A、 $f (π) > f (e)$ B、 $f (π) < f (e)$ C、 $\frac{f (π)}{π} > \frac{f (e)}{e}$ D、 $\frac{f (π)}{π} < \frac{f (e)}{e}$

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12. 若对任意x∈（0，+∞），不等式e^2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（）

A、 $\sqrt{e}$ B、e C、2e D、e²

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{2} + \ln x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 若 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则二项展开式中有理项系数之和为.

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15. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2}$ ( $a > 0$ )，若对任意两个不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_n﹣1是a_n和S_n的等比中项，设 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot (2 n + 1) a_{n}$ ，则数列{b_n}的前100项和为.

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三、解答题

17. 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价 $x$ （单位：元/件）及相应月销量 $y$ （单位：万件），对近5个月的月销售单价 $x_{i}$ 和月销售量 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 的数据进行了统计，得到如下表数据：

月销售单价 $x_{i}$ （元/件）

9

9.5

10

10.5

11

月销售量 $y_{i}$ （万件）

11

10

8

6

5

（Ⅰ）建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程；

（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过 $0.5$ 万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？

（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价 $x$ 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 392$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 502.5$ ．

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18. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 36 x + a$ .

(1)、求f（x）的极值；

(2)、若函数y＝f（x）的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.

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19. 在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人，在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人.

	城镇居民	农村居民	合计
经常阅读	100	24
不经常阅读
合计			200

(1)、完成上面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

(2)、从该地区居民城镇的居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X ，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望.

附：K²＝ $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a+b+c+d.

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸xmm，进行统计整理的频率分布直方图. 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.

(1)、现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品当中尺寸在[12，15]的产品中随机抽取2件产品，记Y为这2件产品中含有尺寸在[14，15]的产品个数，求Y的分布列和数学期望；

(2)、为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件.乙设备生产的产品中一、二、三级品的概率分别是 $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{10}$ ，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率.以厂家的利润作为决策依据，应选购哪种设备？请说明理由.

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21. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过 $n$ 年之后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - 800$ ，证明数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取 $\lg 2 = 0.3$ ）；

(2)、若 $c_{n} = \frac{(n + 1) b_{n}}{250}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a < 0$ 时， $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、设 $m$ 是整数，对于任意的正整数 $n$ ，有 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{1}{2^{n}}) < m$ ，求 $m$ 的最小值．

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月销售单价 $x_{i}$ （元/件）	9	9.5	10	10.5	11
月销售量 $y_{i}$ （万件）	11	10	8	6	5

X	0	1
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$