辽宁省朝阳市凌源市2019-2020学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{2 - i}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）.

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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2. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $B = {x | x = 2^{n - 1} + 1, n \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 ${2, 3}$ B、 ${1, 3, 5}$ C、 ${2, 4, 6}$ D、 ${2, 3, 5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (t, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) // \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、-1 D、-1或2

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4. 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）

A、 $\frac{3}{14}$ B、 $\frac{11}{14}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{2}{7}$

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5. ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{6}$ 的二项展开式中 $x^{4} y^{2}$ 的系数是（）

A、15 B、 $- \frac{15}{4}$ C、-15 D、 $\frac{15}{4}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} +$ $a • 2^{- x} - \frac{3}{2} x (x \in R)$ ，则“ $f (- 1) = f (1)$ ”是“ $f (x)$ 是奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知抛物线 $C : y = a^{2} x^{2}$ 的焦点为 $(0, 2)$ ，点 $P$ 是抛物线 $C$ 上任意一点，则点 $P$ 到点 $A (0, 5)$ 距离的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、5 C、 $2 \sqrt{7}$ D、6

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x) \cos (ω x) + \cos^{2} ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(\frac{2}{3}, 1]$ D、 $(0, \frac{2}{3}]$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别为直线 $l_{1} : y = 2 x$ ， $l_{2} : y = - 2 x$ ，则下列表述正确的有（）

A、 $a > b$ B、 $a = 2 b$ C、双曲线 $E$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ D、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上

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10. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 ${(a + 3)}^{2} < 2 a^{2} + 6 a + 11$ B、 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \geq a + \frac{1}{a}$ C、 $| a - b | + \frac{1}{a - b} \geq 2$ D、 $\sqrt{a + 3} - \sqrt{a + 1} < \sqrt{a + 2} - \sqrt{a}$

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11. 疫苗的研制需要经过临床试验阶段，抗体产生的初次应答和再次应答两个阶段都需经过一定的潜伏期，潜伏期长短与抗原的性质有关.疫苗经5~7天，类毒素在2~3周后，血液中才出现抗体，初次应答所产生的抗体量一般不多，持续时间也较短，从抗体出现的种类来看， $IgM$ （免疫球蛋白 $M$ ）出现最早，但消失也快，在血液中只维持数周至数月. $IgG$ （免疫球蛋白 $G$ ）出现稍迟于 $IgM$ ，当 $IgM$ 接近消失时， $IgG$ 达高峰，它在血液中维持时间可达数年之久.当第二次接受相同抗原时，机体可出现再次反应，开始时抗体有所下降，这是因为原有抗体被再次进入的抗原结合所致.下图是某种疫苗试验得到的有关测试数据绘制出的图形，则下列关于该图形说法正确的是（）

A、初次抗原刺激阶段，在10天内试验个体对抗原刺激不够灵敏，产生 $IgG$ 的浓度比较低 B、初次抗原刺激阶段， $IgG$ 峰值出现早于 $IgM$ 峰值 C、再次抗原刺激阶段，总抗体量大概8天左右达到峰值，且潜伏期比初次抗原刺激阶段要短 D、在试验的两个阶段 $IgG$ 的峰值出现比 $IgM$ 出现最早，但 $IgG$ 消失也快

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，如图， $M ， N$ 分别是正方形 $A B C D$ ， $B C C_{1} B_{1}$ 的中心.则下列结论正确的是（）

A、平面 $D_{1} M N$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的交点是 $B_{1} C_{1}$ 的中点 B、平面 $D_{1} M N$ 与 $B C$ 的交点是 $B C$ 的三点分点 C、平面 $D_{1} M N$ 与 $A D$ 的交点是 $A D$ 的三等分点 D、平面 $D_{1} M N$ 将正方体分成两部分的体积比为1∶1

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三、填空题

13. 已知 $\sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos (θ - \frac{2 π}{3}) =$ .

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14. 已知 $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，弦 $A B$ 是圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 的一条动直径，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3 ， 3]$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意 $x \in R$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = 1$ ，则不等式 $e f (x) > e^{x}$ 的解集为.

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16. 已知公差不为0的等差数列的首项 $a_{1} = 2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且________（① $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列；② $S_{n} = \frac{n (n + 3)}{2}$ ；③ $a_{9} = 26$ 任选一个条件填入上空）.设 $b_{n} = 3^{a_{n}}$ ， $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，试判断 $T_{n}$ 与 $\frac{1}{3}$ 的大小.

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17. 已知随机变量 $X$ 的概率分布为 $P (X = n) = \frac{a}{n^{2} + n} (a \in R, n = 1, 2, 3)$ ，则 $a =$ ， $D (X) =$ .

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四、解答题

18. 在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D ⊥ C D$ ， $A D = 5$ ， $A B = 7$ ， $∠ B D A = 60 °$ .

(1)、求 $sin ∠ B A D$ 的值.

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $D C$ 的长.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A_{1} A = A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - B_{1} D - A_{1}$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $m ： x - y + 1 = 0$ 经过椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $n ： x + 1 = 0$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点， $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A ， B$ 的任意一点，直线 $A P ， B P$ 分别交直线 $l ： x + 4 = 0$ 于 $Q ， R$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证： $\vec{O Q} \cdot \vec{O R}$ （ $O$ 为坐标原点）为定值．

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21. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，准备加大产品研发投资，下表是该公司2017年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：

月份	5	6	7	8	9	10	11	12
研发费用 $x$ （百万元）	2	3	6	10	21	13	15	18
产品销量 $y$ （万台）	1	1	2	2.5	6	3.5	3.5	4.5

参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 347$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 1308$ .参考公式：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n}, y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.682$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ .

(1)、根据数据可知

y

与

x

之间存在较好的线性相关关系.

①求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程（系数精确到0.001）；

②若2018年6月份研发投入为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；

(2)、9月份为庆祝该公司成立30周年，特制定以下奖励制度：以

z

（单位：万台）表示日销量若

z \in [0.18, 0.2)

，则每位员工每日奖励200元；若

z \in [0.2, 0.21)

，则每位员工每日奖励300元；若

z \in [0.21, + \infty)

，则每位员工每日奖励400元.现已知该公司9月份日销量

z

（万台）服从正态分布

N (0.2, 0.0001)

，求每位员工当月（按30天计算）获得奖励金额数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{1}{2} a x^{3} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，求 $g (x_{1}) + g (x_{2})$ 的取值范围.

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