江西省上饶市2019-2020学年高二下学期理数期末教学质量测试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{2 i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- i$ C、1 D、 $i$

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2. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， e^{x_{0}} < 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R ， e^{x} > 0$ B、 $\forall x \in R ， e^{x} \geq 0$ C、 $\exists x \in R ， e^{x} > 0$ D、 $\exists x \in R ， e^{x} \geq 0$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, x, 2), \vec{b} = (2, 1, 2), \vec{c} = (4, - 2, 1)$ .若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，则x的值为（）

A、-2 B、2 C、3 D、-3

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4. 函数 $y = x^{2} - 1$ 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）

A、 $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x$ B、 $\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$ C、 $\int_{0}^{2} | x^{2} - 1 | d x$ D、 $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x + \int_{1}^{2} (1 - x^{2}) d x$

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、1

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6. 在极坐标系中，点 $(2 ， \frac{2 π}{3})$ 到圆 $ρ = 2 \cos^{} θ$ 的圆心的距离为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{4 + \frac{4 π^{2}}{9}}$ C、 $\sqrt{1 + \frac{4 π^{2}}{9}}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 下列点在曲线 ${\begin{array}{l} x = 2 \sin θ \cos θ ， \\ y = \cos θ + \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）上的是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， - \sqrt{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(2 ， \sqrt{3})$ D、 $(- \frac{3}{4} ， \frac{1}{2})$

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8. 已知平面 $α$ ， $β$ ，直线l满足 $l \subset α$ ，则“ $l // β$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知P与Q分别为函数 $2 x - y + 6 = 0$ 与函数 $y = 2 \ln x + 2$ 的图象上一点，则线段 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、6

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10. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数 $\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{...}}}}$ 中的“…”代表无限次重复，设 $x = \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{...}}}}$ ，则可利用方程 $x = \sqrt{3 x}$ 求得 $x$ ，类似地可得到正数 $\frac{2}{1 + \frac{2}{1 + ...}} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱） $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ 和 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $A E$ 和 $B F$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ 时， $A E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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12. 函数 $f (x) = e^{x - 2} - e^{- x + 2} + a \sin \frac{π x}{2}$ （ $x \in R$ ，e是自然对数的底数， $a > 0$ ）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{π}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{π})$ C、 $(0 ， \frac{4}{π})$ D、 $(0 ， \frac{4}{π}]$

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二、填空题

13. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ，，类比这些等式，若 $\sqrt{8 + \frac{a}{b}} = 8 \sqrt{\frac{a}{b}}$ （ $a$ ， $b$ 均为正整数），则 $a + b =$ .

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14. $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x - \int_{0}^{π} \cos x d x =$

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15. 命题 $p$ ： $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $2^{x} < a$ 成立；命题 $q ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $a x < x^{2} + 1$ 恒成立.若命题 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 右支上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $M ， N$ 满足 $\vec{F_{1} P} = λ \vec{P M} (λ > 0) ， \vec{P N} = μ (\frac{\vec{P M}}{| \vec{P M} |} + \frac{\vec{P F_{2}}}{| \vec{P F_{2}} |}) ， \vec{P N} \cdot \vec{F_{2} N} = 0$ ，若 $| \vec{P F_{2}} | = 4$ .则以 $O$ 为圆心， $O N$ 为半径的圆的面积为.

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三、解答题

17. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的普通方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，曲线C₂参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + \cos α \\ y = - 1 + \sin α \end{matrix} (α$ 为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} ， ρ \in R$ .

(1)、求C₁的参数方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知P是C₂上参数对应 $α = π$ 的点，Q为C₁上的点，求PQ中点M到直线 $l$ 的距离的最大值.

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18. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $M (2 ， m)$ 到焦点F的距离为3.

(1)、求 $p ， m$ 的值；

(2)、过点 $P (1 ， 1)$ 作直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b \ln x$ 在 $x = 1$ 处有极值1.

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上的最大值与最小值（ $\ln 2 \approx 0.6931$ ）.

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20. 如图，已知多面体 $P A B C D E$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E D // P A$ ，且 $P A = 2 E D = 2$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求二面角 $C - P E - D$ 的余弦值.

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21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右顶点是 $A (\sqrt{2} ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $D$ ，直线 $l ： y = k x + m$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点（ $l$ 不经过 $D$ 点），且 $M D ⊥ N D$ ，证明：直线 $l$ 经过定点，并写出该定点的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 m \ln x + x^{2} - 4 x (m \in R)$ .

(1)、当 $m = - 3$ 求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 且 $f (x_{1}) - 3 a x_{2} \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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