江西省赣州市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数z满足 $(1 + i) z = 3 + i$ ，则复数z的共轭复数对应的点在第（）象限.

A、一 B、二 C、三 D、四

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2. 设曲线 $y = a (x - 1) - \ln x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 若 $X \sim N (- 1, σ^{2})$ ，且 $P (- 4 < X < - 1) = 0.45$ ，则 $P (X > 2)$ 等于（）

A、0.45 B、0.3 C、0.1 D、0.05

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4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 $A$ 产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y = 0.7 x + 0.35$ ，则下列结论错误的是（）
$x$
3
4
5
6
$y$
2.5
$t$
4
4.5

A、产品的生产能耗与产量呈正相关 B、回归直线一定过 $（ 4.5 ， 3.5 ）$ C、 $A$ 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D、 $t$ 的值是3.15

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5. 若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 满足 $f (x) = 2 f^{'} (1) \ln x + \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (\frac{1}{2}) =$ （）

A、e B、2 C、1 D、0

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6. 观察下列各式： $7^{1} = 7$ ， $7^{2} = 49$ ， $7^{3} = 343$ ， $\dots$ ，则 $7^{2020}$ 的末位数字为（）

A、7 B、9 C、3 D、1

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7. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n} > \frac{13}{14}$ 的过程中，由 $n = k$ 递推到 $n = k + 1$ 时，不等式左边（）

A、增加了 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、增加了 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ C、增加了 $\frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k + 1}$ D、增加了 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1}$

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8. 江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（）

A、60 B、90 C、150 D、240

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9. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{4}$ x²＋cosx，f'(x)是函数f(x)的导函数，则f'(x)的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的可导函数，其导函数 $f^{'} (x)$ ，且满足 $x f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{(x + 2020) f (x + 2020)}{2} < \frac{2 f (2)}{x + 2020}$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 2018}$ B、 ${x | - 2020 < x < - 2018}$ C、 ${x | x > - 2018}$ D、 ${x | - 2020 < x < 0}$

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11. 随机变量 $ξ$ 的分布列如下，且满足 $E (ξ) = 2$ ，则 $E (a ξ + b)$ 的值（）

$ξ$

1

2

3

$P$

$a$

$b$

$c$

A、0 B、1 C、2 D、无法确定，与 $a$ ， $b$ 有关

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12. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (- x) (x < 0) \\ x^{2} e^{2 - x} (x \geq 0) \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - a f (x) + 4 a - a^{2} = 0$ 有四个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， 4) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 0) \cup {4}$ D、 $(- \infty ， - 4) \cup {4}$

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二、填空题

13. $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ =.

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14. 设随机变量Y满足 $Y \sim B (μ, σ^{2})$ ，方程 $x^{2} - 2 x + Y = 0$ 有实数根的概率是 $\frac{1}{2}$ ，则 $μ =$ .

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15. 若函数 $f (x) = k x - \ln x$ （ $k > 0$ ）有且只有一个零点，则 $k =$ .

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16. 已知 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ， $x \in R$ .
① $a_{2} = 180$

② $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{10} | = 1$

③ $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 20$

④ $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{10}}{2^{10}} = - 1$

其中正确的序号是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ ， $g (x) = | x + 3 | - a$ ， $a \in R$ .

(1)、解不等式 $f (x) - g (x) > a$ ；

(2)、对任意 $x \in R$ ， $f (x) + g (x) > a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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18. 在 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3 x})}^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的展开式中所有二项式系数之和为256.

(1)、求展开式中的常数项；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项.

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19. 黑人乔治•弗洛伊德被残杀死亡事件，引发了全世界的抗议.近期某校高二年级A班班主任对该班进行了一次调查，发现全班50名同学中，对此事关注的占

\frac{2}{5}

，他们在本学期期末考试中的政治成绩（满分100分）如下面的频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图，求对此事关注的学生政治成绩的中位数的估计值（精确到0.1）；

(2)、若政治成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，

①补充下面的 $2 \times 2$ 列联表：

	政治成绩优秀	政治成绩不优秀	合计
对此事关注
对此事不关注
合计

②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

P（ $K^{2} \geq k_{0}$ ）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市.

(1)、求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；

(2)、设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望.

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21. 设函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - 3 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极大值点；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = x^{2} + (m - 3) x$ 在区间 $[1 ， e^{2}]$ 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；并求当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立时，实数a的取值范围；

(2)、求证：对任意正整数n，都有 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{2^{n}}) < e$ （其中e为自然对数的底数）.

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$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	$t$	4	4.5

$ξ$	1	2	3
$P$	$a$	$b$	$c$