江苏省镇江市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {2, 5, 6}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + m = 0}$ ，若 $A \cap B = {2}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${2, 3}$ B、{2} C、{3} D、 ${- 1, 6}$

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2. 命题 $p : \exists x_{0} > 1, \log_{2} x_{0} > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 1, \log_{2} x > 0$ B、 $\exists x_{0} > 1, \log_{2} x_{0} \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \leq 1, \log_{2} x_{0} \leq 0$ D、 $\forall x > 1, \log_{2} x \leq 0$

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3. 若 $X \sim B (80, \frac{1}{4})$ ，则 $D (X) =$ （）

A、20 B、40 C、15 D、30

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4. 已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e $^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、a＜c＜b B、a＜b＜c C、b＜c＜a D、b＜a＜c

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5. “ $\ln m < \ln n$ ”是“ $m^{2} < n^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $y = (| x | - 1) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪），每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相.现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是（）

A、 $\frac{1}{144}$ B、 $\frac{1}{132}$ C、 $\frac{1}{66}$ D、 $\frac{1}{33}$

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8. 已知 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，对任意的实数 $x$ 都有 $f' (x) + f (x) = - \frac{2}{e^{x}}$ ，且 $f (\frac{3}{2}) = 0$ ，若函数 $y = f (x) - a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 e^{- \frac{2}{5}} ， + \infty)$ B、 $(- 2 e^{\frac{2}{5}} ， 0)$ C、 $(- 2 e^{- \frac{5}{2}} ， + \infty)$ D、 $(- 2 e^{- \frac{5}{2}} ， 0)$

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9. 已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（ $- \frac{π}{12} ， 3$ ），与之相邻的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，将f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）

A、g（x）为偶函数 B、g（x）的一个单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ C、g（x）为奇函数 D、函数g（x）在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点

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二、多选题

10. 已知 $3 < a < 6$ ， $1 < b < 5$ ，则（）

A、 $\frac{a}{b} \in (\frac{6}{5}, 3)$ B、 $\frac{a}{b} \in (\frac{3}{5}, 6)$ C、 $a - 2 b \in (- 4, 1)$ D、 $a - 2 b \in (- 7, 4)$

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11. 港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海城内，是中国境内连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则（）

A、 $n = 200$ B、 $n = 280$ C、抽取的车辆中通行时间在[35，38）的车辆有4台 D、抽取的车辆中通行时间在[35，38）的车辆有12台

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12. 定义：若函数 $F (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的值域为 $[a ， b]$ ，则称区间 $[a ， b]$ 是函数 $F (x)$ 的“完美区间”，另外，定义区间 $F (x)$ 的“复区间长度”为 $2 (b - a)$ ，已知函数 $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ，则（）

A、 $[0, 1]$ 是 $f (x)$ 的一个“完美区间” B、 $[\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$ 是 $f (x)$ 的一个“完美区间” C、 $f (x)$ 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 $3 + \sqrt{5}$ D、 $f (x)$ 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 $3 + 2 \sqrt{5}$

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三、填空题

13. 不等式 $- 3 x^{2} + x + 2 > 0$ 的解集为．

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14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ²），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝．

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15. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan 2 α = \frac{3}{4}$ ．则 $\sin 2 α + \cos^{2} α =$ ．

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16. 若正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 4$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为，此时 $a =$ ．

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四、解答题

17. 在① $\cos 2 B - \sqrt{3} \sin B + 2 = 0$ ，② $2 b \cos C = 2 a - c$ ，③ $\frac{b}{a} = \frac{\cos B + 1}{\sqrt{3} \sin A}$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 $Δ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________，且a，b，c成等差数列，则 $Δ A B C$ 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到

2 \times 2

列联表的部分数据如下表：

	自律性一般	自律性强	合计
成绩优秀			40
成绩一般		20
合计	50		100

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、补全

2 \times 2

列联表中的数据；

(2)、判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.

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19. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + a x + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 12 x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的极值.

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20. 某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
人数y	2	3	5	4	5	7	8	10	10

参考数据：回归直线的方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} x$ ． $\sum_{i = 5}^{9} x_{i} y_{i} = 293$ ， $\sum_{i = 5}^{9} x_{i}^{2} = 255$ ．

(1)、求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；

(2)、根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）

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21. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：

年龄段（单位：岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
被调查的人数	10	15	20	$m$	25	5
赞成的人数	6	12	$n$	20	12	2

(1)、从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在

[35, 45)

的概率为

\frac{1}{5}

，求出表格中m，

n

的值；

(2)、若从年龄在

[45, 55)

的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m \ln x (m \in R)$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、当 $m = 2$ 时，记函数 $g (x) = f (x) - a x (a \geq 5)$ 的两个极值点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $g (x_{2}) - g (x_{1})$ 的最大值.

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