江苏省扬州市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. $A_{4}^{2} - C_{3}^{2}$ 的值为（）

A、3 B、9 C、12 D、15

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2. 下列结论中正确的是（）

A、若 $y = x^{2} + \ln 2$ ，则 $y^{'} = 2 x + \frac{1}{2}$ B、若 $y = {(2 x + 1)}^{2}$ ，则 $y^{'} = 3 {(2 x + 1)}^{2}$ C、若 $y = x^{2} e^{x}$ ，则 $y^{'} = 2 x e^{x}$ D、若 $y = \frac{\ln x}{x}$ ，则 $y^{'} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$

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3. 将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）

A、 $A_{3}^{2}$ B、 $C_{3}^{2}$ C、 $3^{2}$ D、 $2^{3}$

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4. 若复数 $z$ 满足 $z (3 - i) = 8 - 6 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、3 C、－1 D、－3

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5. 若某地区刮风的概率为 $\frac{2}{15}$ ，下雨的概率为 $\frac{4}{15}$ ，即刮风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$ ，则在下雨天里，刮风的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{8}{225}$

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6. 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门.小明从10门课程中任选3门，则出现艺术类课程的概率为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 关于 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式，下列说法中正确的是（）

A、展开式中二项式系数之和为32 B、展开式中各项系数之和为1 C、展开式中二项式系数最大的项为第3项 D、展开式中系数最大的项为第4项

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8. 某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）

A、24种 B、30种 C、48种 D、60种

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9. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，从集合 $A$ 中任取3个不同的元素，其中最小的元素用 $a$ 表示，从集合 $B$ 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用 $b$ 表示，记 $X = b - a$ ，则随机变量 $X$ 的期望为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、3 D、4

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二、多选题

10. 已知 $i$ 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）

A、复数 $z = 3 + 4 i$ 的模 $| z | = 5$ B、若复数 $z = 3 + 4 i$ ，则 $\bar{z}$ （即复数 $z$ 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限 C、若复数 $(m^{2} + 3 m - 4) + (m^{2} - 2 m - 24)$ $i$ 是纯虚数，则 $m = 1$ 或 $m = - 4$ D、对任意的复数 $z$ ，都有 $z^{2} \geq 0$

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11. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列是

$ξ$

－1

0

1

$p$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1 - p}{2}$

$\frac{p}{2}$

随机变量 $η$ 的分布列是

$η$

1

2

3

$P$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1 - p}{2}$

$\frac{p}{2}$

则当 $p$ 在 $(0 ， 1)$ 内增大时，下列选项中正确的是（）

A、 $E (ξ) = E (η)$ B、 $D (ξ) = D (η)$ C、 $E (ξ)$ 增大 D、 $V (η)$ 先增大后减小

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ B、 $x_{1} f (x_{2}) > x_{2} f (x_{1})$ C、 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < \frac{1}{e}$ D、 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < x_{2} - x_{1}$

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三、填空题

13. 若随机变量 $X ~ N (2 ， 3^{2})$ ，且 $P (X < a) = 0.20$ ，则 $P (2 < X < 4 - a) =$ .

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14. 种植某种树苗，成活率为 $\frac{2}{3}$ ，现种植这种树苗4种，则恰好成活3棵的概率为.

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15. 如图在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = A A_{1} = 1$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $D_{1} B C$ 的距离为.

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16. 若对任意正实数 $x ， y$ ，不等式 $(2 x - y) (\ln y - \ln x + 1) \leq \frac{x}{a}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围 $a$ 为.

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四、解答题

17. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} (n \in N^{*})$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21，

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中的常数项.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在点 $P (1 ， 3)$ 处的切线方程为 $y = 3 x$ ，且函数 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极值.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 3 ， 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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19. 新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.

从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表：

线上学习前成绩 $x$	120	110	100	90	80
线上学习后成绩 $y$	145	130	120	105	100

(1)、求

y

关于

x

的线性回归方程；

参考公式：在线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(2)、针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？

	满意人数	不满意人数	合计
男生
女生
合计

参考公式和数据： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $\frac{P (x^{2} \geq k)}{k} | \frac{0.050}{3.841} \frac{0.010}{6.635} \frac{0.001}{10.828}$

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C \cap B D = O$ ， $△ P A C$ 为正三角形， $A C = 2$ .

(1)、求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的大小；

(2)、若 $∠ B P O = 30 °$ ，求二面角 $A - P B - D$ 的正切值.

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21. 某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.

得分（百分制）

[0，20)

[20，40)

[40，60)

[60，80)

[80，100]

人数

10

20

30

25

15

参考数据：若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) \approx 6.827$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) \approx 0.9973$

(1)、规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；

(2)、由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且 $σ^{2} = 361$ .利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；

(3)、预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：
①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；

②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量 $n$ ，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第 $k$ 题时“花”掉的分数为 $0.2 k (k = 1 ， 2 ， n)$ ；

③每答对一题得2分，答错得0分；

④答完 $n$ 题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.

已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量 $n$ 为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} + b x$ （其中 $a$ ， $b$ 为参数）.

(1)、若 $b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a = 0$ ， $b = 1$ ，且函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{x e^{x}} - m$ 有且只有2个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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得分（百分制）	[0，20)	[20，40)	[40，60)	[60，80)	[80，100]
人数	10	20	30	25	15

$ξ$	－1	0	1
$p$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1 - p}{2}$	$\frac{p}{2}$

$η$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1 - p}{2}$	$\frac{p}{2}$