江苏省徐州市2019-2020学年高二下学期数学期末抽测试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四个复数中，实部大于虚部的是（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 + i$ C、 $i^{3}$ D、 ${(1 + i)}^{2}$

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2. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）

A、15 B、30 C、6 D、9

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3. 从图中的E ， F ， G ， H四点中随机选出两点，记 $ξ$ 为选出的两点纵坐标y的值大于0的点的个数，则 $P (ξ = 1)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 根据历年气象统计资料，某市七月份吹南风的概率为 $\frac{9}{31}$ ，下雨的概率为 $\frac{11}{31}$ ，既吹南风又下雨的概率为 $\frac{8}{31}$ ，则在吹南风的条件下下雨的概率为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{8}{11}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{9}{11}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则关于函数 $y = f (x)$ 的下列说法正确的是（）

A、在 $(- \infty ， 0)$ 上为增函数 B、在 $x = 0$ 处取得极大值 C、在 $(1 ， 2)$ 上为增函数 D、在 $x = 2$ 处取得极小值

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6. ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 展开式的常数项是（）

A、-15 B、15 C、-5 D、5

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7. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} k (1 - \frac{2}{x}) ， x < 0 \\ x^{2} - 2 k ， x \geq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (- x) + f (x)$ 有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围为（）

A、 $k < 0$ B、 $k > 0$ C、 $k < 27$ D、 $k > 27$

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二、多选题

9. 给出下列四个命题，其中是真命题的有（）

A、若复数 $z \in C$ ，则 $z^{2} \geq 0$ B、将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变 C、已知随机变量X服从二项分布 $B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $V (X) = 20$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ D、若函数 $f (x)$ 在某区间上有定义且连续，则“函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x) > 0$ ”是“函数 $f (x)$ 在此区间上为增函数”的充分不必要条件

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10. 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）

A、取出的最大号码X服从超几何分布 B、取出的黑球个数Y服从超几何分布 C、取出2个白球的概率为 $\frac{1}{14}$ D、若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 $\frac{1}{14}$

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11. 若函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) - 2 \ln x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为单调递增函数，则a的可能取值为（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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12. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 $A = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ （例如10100）其中A的各位数中 $a_{k} (k = 2, 3, 4, 5)$ 出现0的概率为 $\frac{1}{3}$ ，出现1的概率为 $\frac{2}{3}$ ，记 $X = a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ，则当程序运行一次时（）

A、X服从二项分布 B、 $P (X = 1) = \frac{8}{81}$ C、X的期望 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、X的方差 $D (X) = \frac{8}{3}$

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三、填空题

13. 已知变量y与x线性相关，若 $\bar{x} = 5$ ， $\bar{y} = 50$ ，且y与x的线性回归直线的斜率为6.5，则由y与x的线性回归方程可得，当 $x = 3$ 时， $\hat{y} =$ ．

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14. 若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有种．

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15. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) > 0$ ，且满足 $f (x) < f^{'} (x) < 2 f (x)$ ，若 $f (1) = k \cdot f (2)$ ，则实数k的取值范围为．

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16. 已知 $x^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{n} {(x + 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $| a_{0} | =$ ；若 $a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $n =$ ．

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四、解答题

17. 复数 $z = (1 + i) m^{2} + (5 - 2 i) m + (6 - 15 i)$ ．

(1)、实数m取什么数时，z是实数；

(2)、实数m取什么数时，z是纯虚数；

(3)、实数m取什么数时，z对应的点在直线 $x + y + 7 = 0$ 上．

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18. 在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；

条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”．

问题：已知二项式 ${(1 + 3 x)}^{n}$ ，若________（填写条件前的序号），

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求 ${(1 + 3 x)}^{n} {(1 - x)}^{5}$ 中含 $x^{2}$ 项的系数．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e^{2}]$ 上的最值，并指出取得最值时x的值．

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20. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立．现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ；面试合格的概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；

(2)、求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；

(3)、记随机变量X为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望．

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21. 2020年初，新型冠状病毒（2019-nCoV）肆虐，全民开启防疫防控．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.1，方差为 ${2.25}^{2}$ ．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

年龄/人数

长期潜伏

非长期潜伏

40岁以上

30

110

40岁及40岁以下

20

40

附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (χ^{2} \geq x_{0})$

0.1

0.05

0.010

$x_{0}$

2.706

3.841

6.635

若 $ξ \sim N (μ ， σ^{2})$ 则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6862$ ． $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

(1)、是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

(2)、假设潜伏期X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．
（ⅰ）现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

（ⅱ）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有 $k (k \in N^{*})$ 个属于“长期潜伏”的概率是 $g (k)$ ，当k为何值时， $g (k)$ 取得最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x$ ，且 $f' (- 1) = 0$ ．
（I）试用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅲ）令 $a = - 1$ ，设函数 $f (x)$ 在 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 处取得极值，记点 $M (x_{1} ， f (x_{1})) ， N (x_{2} ， f (x_{2}))$ ，证明：线段 $M N$ 与曲线 $f (x)$ 存在异于 $M$ 、 $N$ 的公共点．

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年龄/人数	长期潜伏	非长期潜伏
40岁以上	30	110
40岁及40岁以下	20	40

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.1	0.05	0.010
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635