江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高二下学期数学期终试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5} i$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. ${(x - 2)}^{10}$ 展开式中第6项的二项式系数为（）

A、 $C_{10}^{6}$ B、 $C_{10}^{6} \cdot {(- 2)}^{6}$ C、 $C_{10}^{5}$ D、 $C_{10}^{6} \cdot {(- 2)}^{5}$

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3. 抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合 $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，令事件 $A = {1, 3, 5}$ ， $B = {1, 2, 4, 5, 6}$ ，则 $P (A | B)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, δ^{2})$ ，且 $P (X \leq 8) = 0.8$ ，则 $P (0 < X \leq 4)$ 等于（）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

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5. 某医院医疗小组共有甲乙丙丁戊己庚7名护士，每名护士从7月1日到7月7日安排一个夜班，则甲的夜班比丙晚一天的排法数为（）

A、 $A_{6}^{6}$ B、 $\frac{1}{2} A_{7}^{7}$ C、 $C_{7}^{2} A_{6}^{6}$ D、 $2 A_{6}^{6}$

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6. 已知函数 $f (x) = - x + 2 \sin x$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则下列叙述正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 有极大值 $1 - \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 有极小值 $1 - \frac{π}{3}$ C、函数 $f (x)$ 有极大值 $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 有极小值 $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$

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7. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，二面角 $P - B C - A$ 为60°，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、16π B、20π C、 $\frac{64}{3} π$ D、32π

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8. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（）

A、30 B、36 C、360 D、1296

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二、多选题

9. 已知三个正态分布密度函数 $f_{i} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{i}} e^{- \frac{{(x - μ_{i})}^{2}}{2 σ_{i}^{2}}} (x \in R ， i = 1 ， 2 ， 3)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $σ_{1} = σ_{2} = σ_{3}$ B、 $σ_{1} = σ_{2} < σ_{3}$ C、 $μ_{1} = μ_{2} > μ_{3}$ D、 $μ_{1} < μ_{2} = μ_{3}$

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10. 随机变量 $ξ$ 的分布列是：

$ξ$

1

2

3

$P$

$a$

$b$

$\frac{1}{6}$

若 $E (ξ) = \frac{5}{3}$ ，随机变量 $ξ$ 的方差为 $D (ξ)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = \frac{1}{3}$ B、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = \frac{1}{2}$ C、 $V (ξ) = \frac{5}{9}$ D、 $V (ξ) = \frac{19}{18}$

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11. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（）

A、每次出现正面向上的概率为0.5 B、第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C、出现 $n$ 次正面向上的概率为 $C_{10}^{n} {0.5}^{10}$ D、出现 $n$ 次正面向上的概率为 $C_{10}^{n} {0.5}^{n}$

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12. 关于函数 $f (x) = e^{x} - a x ， x \in R$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增 B、当 $a = 0$ 时， $f (x) - l n x \geq 3$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上恒成立 C、对任意 $a < 0$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上一定存在零点 D、存在 $a > 0$ ， $f (x)$ 有唯一的极小值

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三、填空题

13. 欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ 将自然对数的底数 $e$ ，虚数单位 $i$ ，三角函数 $\cos θ$ 和 $\sin θ$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数 $z$ 满足 $(e^{i π} + i) \cdot z = i$ ，则 $| z | =$ .

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14. 一个袋中装有6个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中任意取出3个球，至少有2个红球的概率为（用数字作答）.

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15. 某种圆柱形饮料罐的容积为定值，当底面半径 $R$ 与它的高 $h$ 的比值为时，可以使它的用料最省.

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16. 函数 $f (x) = x^{2} - t \ln x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = k x + m$ ，则 $k + m =$ ；若方程 $f (x) = 0$ 有两个不等的实数解，则 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 使得 $z + 2 i \in R$ ， $\frac{z}{2 - i} \in R$ ，其中 $i$ 是虚数单位.

(1)、求复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 ${(z + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如表所示：

广告费 $x$

6

4

8

2

5

销售额 $y$

50

40

70

30

60

回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、求销售额 $y$ 关于广告费 $x$ 的线性回归方程；

(2)、预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元.

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19. 根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取

100

名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：

得分	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
男性人数	4	9	12	13	11	6	3
女性人数	1	2	2	21	10	4	2

附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $(n = a + b + c + d)$ .

临界值表：

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.075	2.706	3.841	5.024	6.635	$7.879$	10.828

(1)、将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成

2 \times 2

列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？

(2)、以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为

X

，求

X

的概率分布列和数学期望.

	不太了解	比较了解	合计
男性
女性
合计

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20. 如图四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $B A = B D = \sqrt{2}$ ， $A D = 2$ ， $P B = \sqrt{3}$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A D$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $A B$ 所成角的正切值；

(2)、求三棱锥 $P - B A D$ 外接球的体积.

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21. 为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；

(2)、请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{a + 2}{2} x^{2} + 2 a x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求过坐标原点且与函数 $y = f (x)$ 的图象相切的直线方程；

(2)、当 $a \in (0 ， 2)$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 a ， a]$ 上的最大值.

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$ξ$	1	2	3
$P$	$a$	$b$	$\frac{1}{6}$

广告费 $x$	6	4	8	2	5
销售额 $y$	50	40	70	30	60