江苏省南通市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $P = {x | x = 3 m + 1, m \in N^{*}}$ ， $Q = {y | y = 5 n + 2, n \in N^{*}}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 ${x | x = 15 k + 7, k \in N^{*}}$ B、 ${x | x = 15 k - 7, k \in N^{*}}$ C、 ${x | x = 15 k + 8, k \in N^{*}}$ D、 ${x | x = 15 k - 8, k \in N^{*}}$

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2. 二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $- \frac{3}{16}$

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3. 已知复数 $\frac{a - i}{i} - i$ 在复平面内对应的点在二､四象限的角平分线上，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、-1 C、0 D、-2

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4. 函数 $y = (e^{x} + e^{- x}) \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）

A、96种 B、124种 C、130种 D、150种

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6. 若 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + b \ln (2 x + 4)$ 在 $(- 2 ， + \infty)$ 上是减函数，则实数 $b$ 的范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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7. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = P B = \sqrt{3}$ ， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $28 π$ C、 $24 π$ D、 $32 π$

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8. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a >0， b >0)$ 的一个焦点 $F$ 向其一条渐近线 $l ： y = \frac{1}{2} x$ 作垂线，垂足为 $E$ ， $O$ 为坐标原点，若 $△ O E F$ 的面积为1，则 $C$ 的焦距为（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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9. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．

根据该走势图，下列结论正确的是（）

A、这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B、这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C、从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D、从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值

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二、多选题

10. 已知 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $α \cap β = m$ ， $n \subset α$ ， $n ⊥ m$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、.若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$

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11. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $g (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $g (x)$ 为奇函数

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D D_{1}$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、点C与点G到平面 $A E F$ 的距离相等 D、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = ln (- x) + 3 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， - 3)$ 处的切线方程是．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ ， $a_{2} + 2 a_{3} = 2 a_{1} + a_{4}$ ， $4 S_{2} = 3$ ，则 $a_{2} + a_{3} =$ .

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15. 某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有种.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2$ ，上顶点为 $A$ ，左顶点为 $B$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $△ F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ ，则椭圆的方程为；若点 $P$ 为椭圆上的任意一点，则 $\frac{1}{| P F_{1} |} + \frac{1}{| P F_{2} |}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $a_{n} a_{n + 1} = 2^{2 n - 1}$ ；② $S_{n} = k a_{n} - \frac{1}{2}$ ；③ $S_{n} = a_{n} + n^{2} - 2 n + k$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正整数m存在，求出m的值；若m不存在，说明理由.已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 ▲ ，否存在正整数m，使得 $S_{m} ， S_{m + 1} ， S_{m + 2}$ 构成等差数列?

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18. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a \cos C + c \cos A = b \sin B$ ， $b = 2 c$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若点 $D$ 与点 $B$ 在 $A C$ 两侧，且满足 $A D = 2$ ， $C D = 3$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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19. 某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，这200人的年龄区间为 $[15 ， 65]$ 并将这200人按年龄分组：第1组 $[15 ， 25)$ ，第2组 $[25 ， 35)$ ，第3组 $[35 ， 45)$ ，第4组 $[45 ， 55)$ ，第5组 $[55 ， 65]$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求出a的值；

(2)、求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；

(3)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求从第2组恰好抽到2人的概率.

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20. 如图，已知多面体ABC-A₁B₁C₁ ， A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．

（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，准线为 $l$ ，点P为抛物线 $C$ 上的动点（异于顶点）.

(1)、若过点P作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ， $△ P F Q$ 的重心为M，求证：直线MP与抛物线C相切；

(2)、若过定点 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 的直线 $m$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且 $k_{P A} + k_{P B} = 2$ ，其中 $k_{P A}$ 、 $k_{P B}$ 分别为直线PA、PB的斜率，求点 $P$ 的坐标.

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22. 设 $f (x) = e^{x} - a (x + 1)$ ．

(1)、若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；

(2)、是否存在正整数a，使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n﹣1）ⁿ $< \frac{\sqrt{e}}{e - 1}$ （an）ⁿ对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

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