江苏省淮安市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $(1 - 2 i) z = 1$ （i为虚数单位），则 $| z |$ 为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、5 D、 $\frac{1}{5}$

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2. 设随机变量 $X ~ B (n ， 0.2)$ ，且 $E (X) = 1.6$ ，则n为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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3. 函数 $f (x) = x + \frac{9}{x - 2} (x > 2)$ 的最小值为（）

A、5 B、3 C、8 D、6

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4. 从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）

A、60 B、24 C、12 D、36

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5. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：

天数 $x$ （天）

3

4

5

6

繁殖个数 $y$ （千个）

2.5

3

4

4.5

由最小二乘法得y与x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + \hat{a}$ ，则当 $x = 8$ 时，繁殖个数 $y$ 的预测值为（）

A、4.9 B、5.25 C、5.95 D、6.15

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6. 现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布 $X ~ N (98 ， 100)$ .且 $P (88 \leq x \leq 108) \approx 0.683$ ， $P (78 \leq x \leq 118) \approx 0.954$ ，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）

A、2800 B、2180 C、1500 D、6230

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8. 若函数 $y = \ln x - a x$ 有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(0 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (m^{2} - 1) + (m - \sqrt{3}) (m - 1) i (m \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则共轭复数 $\bar{z} = 1 - \sqrt{3} i$ B、若复数 $z = 2$ ，则 $m = \sqrt{3}$ C、若复数z为纯虚数，则 $m = \pm 1$ D、若 $m = 0$ ，则 $4 + 2 z + z^{2} = 0$

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10. 若 ${(2 x + 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{r} = C_{10}^{r} 2^{10 - r} {(- 1)}^{r}$ ， $r = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ， 10$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 1$ D、 ${(a_{0} + a_{2} + \dots + a_{10})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + \dots + a_{9})}^{2} = 3^{10}$

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11. 下列结论正确的是（）

A、 $3 \times 4 \times 5 \times 6 = A_{6}^{4}$ B、 $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ C、 $C_{8}^{3} = C_{8}^{5}$ D、“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72

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12. 关于函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (1)$ 是 $f (x)$ 的极小值； B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1)$ 上单调递减； D、设 $g (x) = x f (x)$ ，则 $g (\frac{1}{e}) < g (\sqrt{e})$ .

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三、填空题

13. 曲线 $y = \sin x$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为.

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14. 已知随机变量X的概率分布为：

$X$

0

1

2

3

4

5

6

$P$

0.16

0.22

0.24

？

0.10

0.06

0.01

则 $P (X \geq 3) =$ .

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15. 多项式 ${(2 x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2} = a_{0} x^{5} + a_{1} x^{4} + a_{2} x^{3} + a_{3} x^{2} + a_{4} x^{1} + a_{5}$ ，则 $a_{1} =$ .

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16. 某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $p$ .若教师甲恰好答对3个问题的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则p= ，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为.

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四、解答题

17. 某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作.

(1)、求志愿者、医生、护士各选1人的概率；

(2)、求至少选1名医生的概率.

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18. 已知多项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中含x项的系数.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x$ 在 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值.

(1)、求实数a的值；

(2)、若过点 $P (1 ， t)$ 存在3条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求实数t的取值范围.

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20. 冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.

(1)、某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占

\frac{1}{5}

，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占

\frac{3}{5}

，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x ，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？

	潜伏期7天以下	潜伏期7天以上	合计
60岁以下
60岁以上			$5 x$
合计

附1： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$P (X^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(2)、某地区的新冠肺炎治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

，统计数据如下：

3月日期（日）	2	3	4	5	6
治愈人数（人）	25	30	40	45	$t$

已知 $\bar{y} = \frac{1}{5} \sum_{i =1}^{5} y_{i} = 40$ ， $\sum_{i =1}^{5} x_{i}^{2} = 90$ ， $\sum_{i =1}^{5} x_{i} y_{i} = 885$ ，请利用所给数据求t和回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

附2： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为 $\frac{4}{5}$ ，女生认为《少年的你》值得看的概率为 $\frac{3}{4}$ ，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）

(1)、求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；

(2)、设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.

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22. 设函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = a (e - e^{x})$ ，

(1)、设 $φ (x) = x f (x) - g (x)$ ，讨论 $φ (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) + g (x) > 0$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求整数a的最大值.

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天数 $x$ （天）	3	4	5	6
繁殖个数 $y$ （千个）	2.5	3	4	4.5

$X$	0	1	2	3	4	5	6
$P$	0.16	0.22	0.24	？	0.10	0.06	0.01