吉林省吉林市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $z = i (i - 1)$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. “因对数函数 $y = \log_{a} x$ 是增函数（大前提），而 $y = \log_{0.2} x$ 是对数函数（小前提），所以 $y = \log_{0.2} x$ 是增函数（结论）”.上面推理结论错误的原因是（）

A、大前提错导致结论错 B、小前提错导致结论错 C、推理形式错导致结论错 D、大前提和小前提都错导致结论错

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3. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{+}$ ，且 $n > 1)$ 时，第一步应验证的不等式是（）

A、 $1 < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ D、 $1 + \frac{1}{3} < 2$

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4. 函数 $f (x) = x + \sin x$ 在区间 $(0 ， π)$ 的单调性为（）

A、单调递增 B、单调递减 C、在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递增， $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减 D、在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减， $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递增

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5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（　　）

A、假设a、b、c都是偶数 B、假设a、b、c都不是偶数 C、假设a、b、c至多有一个偶数 D、假设a、b、c至多有两个偶数

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6. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ 在闭区间 $[- 3 ， 0]$ 上的最大值、最小值分别是（）

A、 $1 ， - 17$ B、 $3 ， - 17$ C、 $1 ， - 1$ D、 $9 ， - 19$

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7. 由直线x= $\frac{1}{2}$ ，x=2，曲线y= $\frac{1}{x}$ 及x轴所围图形的面积是（）

A、2ln2 B、 $\frac{1}{2} \ln 2$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{17}{4}$

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8. 甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、不确定

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9. 三角形的面积为 $S = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot r$ ，（ $a ， b ， c$ 为三角形的边长， $r$ 为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（）

A、 $V = \frac{1}{3} a b c$ （ $a ， b ， c$ 为底面边长） B、 $V = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}) r$ （ $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4}$ 分别为四面体四个面的面积， $r$ 为四面体内切球的半径） C、 $V = \frac{1}{3} S h$ （ $S$ 为底面面积， $h$ 为四面体的高） D、 $V = \frac{1}{3} (a b + b c + a c) h$ （ $a ， b ， c$ 为底面边长， $h$ 为四面体的高）

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10. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，给出下列命题：
①-2是函数 $y = f (x)$ 的极值点；②1不是函数 $y = f (x)$ 的极值点；③ $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线的斜率小于零；④ $y = f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上单调递增.其中正确命题的序号是（）

A、①②④ B、①②③ C、②③④ D、①②

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11. 中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽.某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（）

A、16种 B、36种 C、42种 D、60种

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12. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 \ln x$ 在区间 $[a - \frac{1}{2}$ ， $a + \frac{1}{2}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{5}{2}]$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ D、 $(\frac{3}{2} ， 2]$

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二、填空题

13. 已知离散型随机变量 $ξ$ 的分布列如表所示，则表中p值等于.

$ξ$

0

1

2

P

0.4

p

0.3

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14. 已知a是实数， $\frac{a - i}{1 + i}$ 是纯虚数，则a= ．

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15. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， σ^{2})$ .若 $P (ξ > 2) = 0.023$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \ln x - x^{3}$ 与 $g (x) = x^{3} - a x$ ，若函数 $f (x)$ 图象上存在点 $P$ ，且点 $P$ 关于 $x$ 轴对称点 $Q$ 在函数 $g (x)$ 图象上，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} + 3 m - 28) i (i$ 是虚数单位），当实数 $m$ 为何值时.

(1)、复数 $z$ 对应的点在第四象限；

(2)、复数 $z < 0$ .

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18. 在二项式 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.

(1)、求项数 $n$ ；

(2)、求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.

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19. 调查男、女乘客在一次恶劣天气的飞行航程中晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成下面

2 \times 2

列联表；

	晕机	不晕机	总计
男性
女生
总计

(2)、根据此材料能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机？

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - 2 a x + a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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21. 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每题正确完成与否互不影响.

(1)、分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；

(2)、试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力.

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22. 设函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 a x + 3 \ln x (a \in R ， 0 < a < 3)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \in [1$ ， $+ \infty)$ 时，不等式 $f (x) \geq - 5 x \ln x + 3 \ln x - \frac{3}{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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$ξ$	0	1	2
P	0.4	p	0.3