湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题14角平分线、线段的垂直平分线、三角形的中位线

试卷更新日期：2021-04-28 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，直线 CD和AB相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，若∠EOF=a，下列说法∶①∠AOC=a-90°；② ∠EOB=180°-a③ ∠AOF=360°-2a ，其中正确的是（）

A、① ② B、① ③ C、② ③ D、① ② ③

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2. 如图，AB//CD，∠FGB=154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于（）

A、26° B、52° C、54° D、77°

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3. 点 $Р$ 在 $∠ A O B$ 的角平分线上，点 $Р$ 到 $O A$ 边的距离等于 $5$ ，点 $Q$ 是 $O B$ 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）

A、 $P Q > 5$ B、 $P O \geq 5$ C、 $P Q < 5$ D、 $P O \leq 5$

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4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）

A、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B、角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C、三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D、以上均错误

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5. 用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA， BC于点D， E； ②分别以D， E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP.射线BP即为所求.对m，n的描述，正确的是（）

A、m>0， n>0 B、m>0，n<m C、m>0，n> $\frac{1}{2}$ DE D、m>0，n< $\frac{1}{2}$ DE

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6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（）

A、△ABE的面积＝△BCE的面积 B、∠AFG＝∠AGF C、BH＝CH D、∠FAG＝2∠ACF

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7. 如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线， CE=4，△ABD的周长为12，则△ABC的周长为（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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8. 如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A、AC，BC两边高线的交点处 B、AC，BC两边垂直平分线的交点处 C、AC，BC两边中线的交点处 D、∠A，∠B两内角平分线的交点处

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° .$ 用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90º，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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二、填空题

11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD=3∶2，则点D到线段AB的距离为.

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12. 如图所示，OC是 $∠ A O B$ 的平分线，OD平分 $∠ A O C$ ，且 $∠ C O D = 25 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数是.

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13. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点 $D$ ，若 $A B = 15$ ， $Δ A B D$ 的面积是 $30$ ，则 $C D$ 的长为

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14. 如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E ，则∠ABE＝°．

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15. 如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，在 $B A$ 和 $B D$ 上分别截取 $B E ， B F$ ，使 $B E ＝ B F$ ；分别以 $E ， F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B D$ 内交于点 $G$ ，作射线 $B G$ 交 $A D$ 于点 $P$ ，若 $A P = 3$ ，则点 $P$ 到 $B D$ 的距离为.

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16. 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝．

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17. 如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD、OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC.
则∠AOC的大小为.

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18. 如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，边AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，连结BE.若AB = 10，BC = 6，则△ACE的周长是 .

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19. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线
已知：线段AB
小芸的作法如下：
如图，(1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.
老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是

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20. 如图，AB是⊙O的弦，AB=4，C是⊙O上的一个动点，∠ACB=45°，若点Ｍ、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是。

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三、解答题

21. 如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

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22. 已知：如图，∠B ＝∠C=90°，AM是∠BAD的平分线，且M是BC的中点．
求证：DM平分∠ADC．

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23. 如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长.

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24. 某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器.如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？

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四、作图题

25. 如图：求作一点 $P$ ，使 $P M = P N ，$ 并且使点 $P$ 到 $∠ A O B$ 的两边的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

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五、综合题

26. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．
求证： $A C$ 垂直平分线段 $B D$ ．

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27.
定义：有两条边长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F．

(1)、设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，请你直接写出 $\frac{c}{a}$ 的值为；

(2)、若∠AED=∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；

(3)、若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，求线段AC的长．

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28. △ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．

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29. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

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30. 在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

(1)、如图①，若△AMN是等边三角形，则∠BAC=°；

(2)、如图②，若∠BAC=135°，求证：BM²＋CN²＝MN² ．

(3)、如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB=4，CB=10，求AH的长．

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