湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题13直角三角形

试卷更新日期：2021-04-28 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，AC⊥BC，垂足为C，AB=10，点A到BC的距离是8，点C到AB的距离是4.8，则点B到AC的距离是（）

A、2.4 B、4.8 C、8 D、6

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2. 如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（　　）

A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

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3. 如图，已知AB⊥BD，CB⊥CD，AD＝14 cm，BC＝10 cm，若线段BD的长度为偶数，则线段BD的长度为（）

A、8 cm B、10 cm C、12 cm D、14 cm

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4. 直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（）

A、90° B、135° C、120° D、45°或135°

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5. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）

A、15 $\sqrt{3}$ 海里 B、30海里 C、45海里 D、30 $\sqrt{3}$ 海里

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6. 下列选项不能判定 $Δ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ C = 45^{°}$ B、 $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2}$ C、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ D、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$

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7. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，E是AB上一点，且 $B E = B C$ ，过E作 $D E ⊥ A B$ 交AC于D，如果 $A C = 5 c m$ ，则 $A D + D E$ 等于（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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8. 下图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A，点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（）

A、9个 B、8个 C、7个 D、6个

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9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（）

A、2s B、4s C、2s或4.5s D、2s或4s

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10. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S₁、S₂、S₃；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S₄、S₅、S₆。其中，S₁＝16，S₂＝45，S₅＝11，S₆＝14，则S₃＋S₄＝（）

A、86 B、64 C、54 D、48

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11. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角，AM=2 $\sqrt{3}$ EF，则正方形ABCD的面积为（）

A、14S B、13S C、12S D、11S

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 5 ， ∠ C = 60 °$ ，点 $D 、 E$ 分别在 $B C 、 A C$ 上，且 $C D = C E = 2 ，$ 将 $Δ C D E$ 沿 $D E$ 所在的直线折叠得到 $Δ F D E$ （点 $F$ 在四边形 $A B D E$ 内），连接 $A F ，$ 则 $A F^{2} =$ （）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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二、填空题

13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，BD平分 $∠ A B C$ ，如果 $A C = 9 cm$ ，那么 $A D =$ cm．

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14. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 17$ ， $A C = 10$ ， $B C$ 边上的高 $A D = 8$ ，则边 $B C$ 的长为．

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15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm ，则斜边AB上的中线长是．

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16. 如图，已知 $A O = 10$ ，P是射线 $O N$ 上一动点（即P点可在射线 $O N$ 上运动）， $∠ A O N = 60 °$ .

(1)、 $O P =$ 时， $△ A O P$ 为直角三角形.

(2)、设 $O P = x$ ，则x满足时， $△ A O P$ 为锐角三角形.

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17. 若直角三角形中两个锐角的差为20°，则这两个锐角的度数分别是．

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18. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在线段BC的延长线上，连接AD，CD=1，BC=12，∠DAB=30°，则AC= ．

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19. 如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为．

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20. 如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为．

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三、解答题

21. 如图，一根2.5米长的竹竿AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端为0.7米，如果竹竿的底端沿地面向外滑动0.8米，那么点A将向下移动多少米？

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22. 已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上.

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23. 如图，两条笔直的公路 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A O C$ 为30°，指挥中心 $M$ 设在 $O A$ 路段上，与 $O$ 地的距离为20千米．一次行动中，王警官带队从 $O$ 地出发，沿 $O C$ 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在9千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否与指挥中心用对讲机通话．

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24. 三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为 $a ， b$ ，斜边长为 $c$ 的 $4$ 个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．

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四、作图题

25. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.

(1)、在图 $①$ 中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)、在图 $②$ 中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；

(3)、在图 $③$ 中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.

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26. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形.

(1)、从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 $\sqrt{8}$ ；

(2)、以（1）中的AB为边的一个等腰△ABC，使点C在格点上，且三边中至少有两边的长度都是无理数.回答：符合条件的点C共有个，并在网格中画出符合条件的所有点C.

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五、综合题

27. 已知 $Rt △ A C B$ ≌ $Rt △ D E B$ ， $∠ A C B = ∠ D E B = 90 °$ ．

(1)、将 $Rt △ A C B$ 和 $Rt △ D E B$ 按图①方式摆放，使 $B D$ 经过点 $C$ ，延长 $A C$ 交线段 $D E$ 于点 $F$ ．试判断线段 $D F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)、将 $Rt △ A C B$ 和 $Rt △ D E B$ 按图②方式摆放，延 $A C$ 交线段 $D E$ 于点 $F$ ．请直接写出 $D F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 之间的数量关系．

(3)、将 $Rt △ A C B$ 和 $Rt △ D E B$ 按图③方式摆放，延长 $A C$ 交 $E D$ 的延长线于点 $F$ ．请直接写出线段 $D F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 之间的数量关系：．

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28. 如图， $△ A B C$ 中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（ $t > 0$ ）

(1)、若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；

(2)、若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

(3)、当t为何值时， $△ B C P$ 为等腰三角形

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29. 定义：有两条边长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的直角三角形叫做“半生三角形”.如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 是 $C D$ 的中点， $D F ∥ A E$ 平行AE交 $B C$ 于点 $F$ .

(1)、当 $∠ A C B = 60 °$ 时， $Δ A B C$ 是半生三角形吗？请判断：（填“是”或“否”）

(2)、当 $∠ A E D = ∠ D C B$ 时，求证： $Δ B D F$ 是“半生三角形”；

(3)、当 $Δ B D F$ 是“半生三角形”，且 $B F = 1$ 时，求线段 $A C$ 的长.

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30. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE， CG平分∠ACB交BD于点G，

(1)、如图1，求证：CF＝BG；

(2)、如图2，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，
求证：PB＝CP＋CF；

(3)、如图3，在(2)间的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S_△_AEG＝3 $\sqrt{3}$ ，BG＝6，求AC的长.

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