山东省青岛市崂山区2019-2020学年七年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 从 $2019$ 年末开始，一场新型冠状病毒疫情席卷了全世界，面对疫情我国人民在党的领导下团结一心取得了决定性胜利．新冠病毒的直径约为 $0.00000012$ 米，将 $0.00000012$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{- 9}$ B、 $1.2 \times 10^{- 8}$ C、 $12 \times 10^{- 8}$ D、 $1.2 \times 10^{- 7}$

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2. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 ${(- 3 x^{3})}^{2} + {(- 2 x^{2})}^{3}$ 得（）

A、 $x^{5}$ B、 $17 x^{6}$ C、 $x^{6}$ D、 $- 17 x^{5}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{12} \div x^{4} = x^{3}$ B、 $- a^{2} \cdot a b = - a^{3} b$ C、 $b^{3} \cdot b^{3} = 2 b^{3}$ D、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{4}$

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5. 如图，直线 $a ， b$ 与直线 $c ， d$ 相交，已知 $∠ 3 = ∠ 4 ， ∠ 1 = 100 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $110 °$ B、 $100 °$ C、 $80 °$ D、 $70 °$

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6. 如图，直线 $a // b$ ，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若 $∠ 1 = 62 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $62 °$ B、 $38 °$ C、 $32 °$ D、 $28 °$

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7. 某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：

定价/元	70	80	90	100	110	120
销量/把	80	100	110	100	80	60

现销售了 $105$ 把水壶，则定价约为（）

A、

115

元 B、

105

元 C、

95

元 D、

85

元

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知点 $D 、 E 、 F$ 分别是 $B C 、 A D 、 B E$ 上的中点，且 $△ A B E$ 的面积为 $8 c m^{2}$ ，则 $△ C E F$ 的面积为（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $6 c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$ ²

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二、填空题

9. 如图， $A C // E D ， A B // F D ， ∠ A = 62 °$ ，则 $∠ E D F$ 度数为．

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10. 一个底面是正方形的长方体，高为 $8 c m$ ，底面正方形边长为 $7 c m$ ．如果正方形的边长增加了 $a c m$ ，那么它的体积增加了 $c m^{3}$ ．

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11. 小明家距离学校 $8$ 千米，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象(如图)，该图描绘了小明行的路程 $s$ 与他所用的时间 $t$ 之间的关系．如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到分钟?(结果精确到 $0.1$ )

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12. 如图在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点D， $D E$ 垂直平分 $A B$ ，交 $A B$ 于点E，若 $D E = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $A C =$ ．

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13. 已知 $△ A B C$ 的高为 $A D$ ， $∠ B A D = 65 °$ ， $∠ C A D = 25 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是．

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14. $[(3 - 1) (3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) \dots (3^{32} + 1) + 1] \div 3$ 的个位数为．

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三、解答题

15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图 $△ A B C$ ．

求作：一点O，使点O到边 $A B$ 与 $B C$ 距离相等，且点O到点B与点C的距离也相等．

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16. 计算题

(1)、 $1013 \times 987$

(2)、 $398^{2}$

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17. 求下列各式的值

(1)、 $[(x y + 2) (2 x y - 4) - 3 x^{2} y^{2} + 8] \div x y$ ，其中 $x = 100 ， y = - \frac{1}{25}$

(2)、 ${(2 x - y)}^{2} - 4 (x - y) (x + 2 y)$ ，其中 $x = 2 ， y = - 3$

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18. 请你设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，转盘停止后，指针落在1号区域的概率为 $\frac{1}{4}$ ，落在2号区域的概率为 $\frac{3}{8}$ ，落在3号区域的概率 $\frac{3}{8}$ ．

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19. 梯形的上底长为x，下底长为y，高为 $4$ ，面积为 $48$ ．

(1)、梯形下底长y与上底长x之间的关系式是什么？

(2)、用表格表示当x从 $4$ 变到 $10$ （每次增加1），y的相应值；

(3)、当x每增加 $2$ 时，y如何变化？

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20. 已知如图所示 $△ A B C$ 中， $∠ B = 2 x$ ， $∠ C = x$ ，请你将 $△ A B C$ 分成两个等腰三角形，并说明分法的合理性．

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21. 计算

(1)、 $(a + b + 3) (a + b - 3)$

(2)、 ${(a - b)}^{3}$

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22. 小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏；小明从中任意抽取一张牌(不放回) ，小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜(规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏．

(1)、若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少?小颖获胜的概率又是多少?

(2)、若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少?小颖获胜的概率又是多少?

(3)、若小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少?小颖获胜的概率又是多少?

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $C D ⊥ B D$ ．过点A作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为点E．若 $C D = 4$ ， $D E = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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24. 问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求n个数的和的情况，这n个数的和可以表示为 $T_{n}$ ．那么怎样求 $T_{n} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^{2} + \dots +(2 n - 3) 2^{n - 2} + (2 n - 1) 2^{n - 1}$ 的值呢？
问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

(1)、探究一： $S_{2} = 1 + 2$ ①
$2 S_{2} = 2 + 2^{2}$ ②

①-②得 $(1 - 2) S_{2} = 1 - 2^{2}$ $S_{2} = \frac{1 - 2^{2}}{1 - 2} = 2^{2} - 1$

$S_{3} = 1 + 2 + 2^{2}$ ③

$2 S_{3} = 2 + 2^{2} + 2^{3}$ ④

③-④得 $(1 - 2) S_{3} = 1 - 2^{3}$

$S_{3} = \frac{1 - 2^{3}}{1 - 2} = 2^{3} - 1$

$S_{4} = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}$ ⑤

$2 S_{4} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}$ ⑥

⑤-⑥得 $(1 - 2) S_{4} = 1 - 2^{4}$

$S_{4} = \frac{1 - 2^{4}}{1 - 2} = 2^{4} - 1$

由以上规律可知 $1 + 2 + \dots + 2^{10} =$ ；

$1 + 2 + \dots + 2^{n} =$ ．

(2)、探究二： $T_{2} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2$ ⑦
$2 T_{2} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2}$ ⑧

⑦-⑧得 $(1 - 2) T_{2} = 1 \cdot 1 + (3 - 1) \cdot 2 - 3 \cdot 2^{2} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2^{2} = 5 - 3 \cdot 2^{2}$

$T_{2} = 3 \cdot 2^{2} - 5$

$T_{3} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^{2}$ ⑨

$2 T_{3} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2^{3}$ ⑩

⑨-⑩ $(1 - 2) T_{3} = 1 \cdot 1 + (3 - 1) \cdot 2 + (5 - 3) \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2^{3} = 1 \cdot 1 + 2^{2} + 2^{3} - 5 \cdot 2^{3}$

$= 2 + 2^{2} + 2^{3} - 5 \cdot 2^{3} - 1 = 2 (1 + 2 + 2^{2}) - 5 \cdot 2^{3} - 1 = 2 (2^{3} - 1) - 5 \cdot 2^{3} - 1$

$= - 3 \cdot 2^{3} - 3$

$T_{3} = 3 \cdot 2^{3} + 3$

请根据前面推导过程推导 $T_{10}$ ，并写出推导过程．

(3)、问题解决：请求 $T_{n} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^{2} + \dots +(2 n - 3) 2^{n - 2} + (2 n - 1) 2^{n - 1}$ ，写出求解过程．

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