湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题23二次函数

试卷更新日期：2021-04-27 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数，且 $a \neq 0$ ）的图象与x轴的一个交点为 $A (3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $a - b + c < 0$ ；③ $a = - \frac{b}{2}$ ；④ $8 a + c > 0$ .其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
2. 已知函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ ，（a、b、c为常数），如图所示，y₂=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误的一个结论为（）

A、 $a < 0 ， b > 0 ， c > 0$ B、当x＞3时，ax+b＜0 C、当x＞2时，y₁＞y₂. D、 $a x^{2} + b x + c = a x + b$ 有两个不同的解

查看试题解析
3. 已知二次函数y＝ax²+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b²﹣4ac＞0；④a＜ $\frac{1}{2}$ ；⑤b＞1，其中正确结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

查看试题解析
4. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0 ② 4ac－b²＞0 ③ a－b＋c＞0 ④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

查看试题解析
5. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于 $A ， B$ 两点，与y轴负半轴交于点C，它的对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $a - b = 0$ C、 $a - 4 c > 0$ D、当 $x = n^{2} + 1 (n$ 为实数）时， $y \leq c$

查看试题解析
6. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(x_{1} ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1$ .下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a - c > 0$ ；③ $a + 2 b + 4 c > 0$ ；④ $\frac{4 a}{b} + \frac{b}{a} < - 4$ ，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
7. 如图，抛物线y=ax²+bx+c(a< 0)的图象经过点(1， 2)，与x轴交点的横坐标分别为x₁ ， x₂ ，其中-1<x₁<0，1<x₂<2，则下列结论中正确的是（）

A、a<-1 B、b>2 C、2a+b> 0 D、k为任意实数，关于x的方程ax²+bx+c+k²= 0没有实数根

查看试题解析
8. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b²<0。
其中错误结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
9. 如图．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点(-1，0)，与y轴交于点(0，2)，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①a+c=b：②方程ax²+bx+c=0的解为-1和3；③2a+b=0；④abc<0；其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
10. 抛物线C₁：y₁=mx²-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（-1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，-1）；③m> $\frac{2}{5}$ ；④若抛物线C₂：y₂=ax²（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是 $\frac{2}{25}$ ≤a<2；⑤不等式mx²-4mx+2n>0的解作为函数C₁的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

查看试题解析

二、填空题

11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+6x-8与x轴交于点A ， B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），与直线BC交于点N（x₃ ， y₃），若x₁<x₂<x₃ ，记s=x₁+x₂+x₃ ，则s的取值范围为．

查看试题解析
12. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是．

查看试题解析
13. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 6 x - 5$ 的顶点为 $P$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $N$ 是 $P A$ 的中点． $M$ $(m ， n)$ 在抛物线上， $M$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $B$ ， $M$ 关于点 $N$ 的对称点为 $C$ ．当 $1 \leq m \leq 3$ 时，线段 $B C$ 的长随 $m$ 的增大而发生的变化是：．（“变化”是指增减情况及相应 $m$ 的取值范围）

查看试题解析
14. 如图，在平面直角坐标系中，过点P(m，0)作x轴的垂线，分别交抛物线y=x²+ $\frac{3}{2}$ x+2和直线y= $- \frac{1}{2}$ x-2于点A和点C，以线段AC为对角线作正方形ABCD，则当正方形ABCD的面积最小时m的值为。

查看试题解析
15. 如图，抛物线 $y_{1} = a {(x + 2)}^{2} - 3$ 与 $y_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} {(x - 3)}^{2} + 1$ 交于点 $A (1 ， 3)$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 $B$ ， $C$ ．则以下结论：①无论 $x$ 取何值， $y$ ₂的值总是正数；② $a = 1$ ；③当 $x = 0$ 时， $y_{2} - y_{1} = 4$ ；④ $2 A B = 3 A C$ ．其中正确结论是．

查看试题解析
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=－x²－2x图象位于x轴上方的部分记作F₁ ，与x轴交于点P₁和O；F₂与F₁关于点O对称，与x轴另一个交点为P₂；F₃与F₂关于点P₂对称，与x轴另一个交点为P₃；…．这样依次得到F₁ ， F₂ ， F₃ ， …，F_n ，则其中F₁的顶点坐标为， F₈的顶点坐标为， F_n的顶点坐标为（n为正整数，用含n的代数式表示）．

查看试题解析
17. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是．

查看试题解析
18. 如图，二次函数 $y = {ax}^{2} + bx + c （ a \neq 0 ）$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 $（ - 1 ， 0 ）$ ，点C在 $（ 0 ， 2 ）$ 与 $（ 0 ， 3 ）$ 之间 $（$ 不包括这两点 $）$ ，抛物线的顶点为D，对称轴为直线 $x = 2 ．$ 有以下结论：
① $abc > 0$ ；

② $a - b + c = 0$

③ 若点 $M （ - \frac{1}{2} ， y_{1} ）$ ，点 $N （ \frac{7}{2} ， y_{2} ）$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；

④ $- \frac{3}{5} < a < - \frac{2}{5}$ ；⑤ $△ ADB$ 可以是等腰直角三角形．

其中正确的结论序号为．

查看试题解析
19. 二次函数y＝ax²＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc<0；②当－1<x<3时，y>0；③a－b＋c<0；④3a＋c<0.其中正确的是(填序号)．
　

查看试题解析
20. 设函数y＝x²+2kx+k－1（k为常数），下列说法中：（1）对任意实数k，函数与x轴有两个交点；（2）当x≥-k时，函数y的值都随x的增大而减小；（3）k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上；（4）对任意实数k，抛物线y＝x²+2kx+k-1都必定经过唯一定点．正确的说法有（填写序号）．

查看试题解析

三、解答题

21. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为 $(- 3 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M为线段 $A B$ 上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线 $A C$ 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作 $P Q / / A B$ 交抛物线于点Q，过点Q作 $Q N ⊥ x$ 轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形 $P M N Q$ 的周长最大时，求 $△ A E M$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，当矩形 $P M N Q$ 的周长最大时，连接 $D Q$ ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线 $A C$ 交于点G（点G在点F的上方）．若 $F G = 2 \sqrt{2} D Q$ ，求点F的坐标．

查看试题解析
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{6} x^{2} + b x + c$ 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).

(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；

(Ⅱ)点 $P (0 ， n)$ 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 $O P = 2 B Q$ ，且 $P A = Q A$ ，求n的值；

(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析

四、作图题

23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 中（a ， b是常数）与y轴的交点为A ，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数 $y = a x^{2} - + b x + 3$ 中（b ， c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：，

$x$

…

$- 1$

0

1

3

4

…

$y = a x^{2} + b x + 3$

…

8

0

0

…

(1)、下列结论正确的是
A ．抛物线的对称轴是 $x = 1$

B ．当 $x = 2$ 时，y有最大值 $- 1$

C ．当 $x = 2$ 时，随x的增大而增大

D ．点A的坐标是 $(0 ， 3)$ ，点B的坐标是 $(4 ， 3)$

(2)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的解析式

(3)、已知点 $M (m ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 上，设 $△ B A M$ 的面积为S ，求S与m的函数关系式画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？

查看试题解析
24. 已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A(0，5)、B(1，2)、C(3，2).

(1)、求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；

(2)、结合图象，回答下列问题：
①当1≤x≤4时，y的取值范围是；

②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；

③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由.

查看试题解析

五、综合题

25. 疫情期间，某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图.

(1)、求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当售价为元时，销售利润最大，最大利润为万元；

(3)、该公司决定每销售一盒口罩，就抽出a（a＞0）元钱捐给“火神山”医院，若除去捐款后，所获得的最大利润为756万元，求a的值.

查看试题解析
26. 某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象关系 $y = - 2 x + 160$ ，设日销售利润为w元.

(1)、当日销售利润为1600元时，求售价x值；

(2)、当售价为多少元/千克时，当日销售利润w最大，最大利润为多少元？

(3)、由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克 $(m > 0)$ ，物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价的函数关系不变.若日销售最大利润是1280元，请直接写出m的值.

查看试题解析
27. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax²﹣4ax+3a（a≠0）的图象与x轴交于点A ， B（A在B的左侧），与y轴交于点C ．

(1)、直接写出点C的坐标（用含有a的代数式表示）；

(2)、记△ABC的面积为S ，判断说法：“当a $>$ 0时，S与a满足正比例函数关系”的正误，并说明理由；

(3)、已知点P（a ， 0），Q（0，a﹣3），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

查看试题解析
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过 $B (- 1 ， 0)$ 、 $C (3 ， 0)$ 两点，

(1)、求抛物线的解析式及顶点 $A$ 的坐标；

(2)、在二次函数的图象位于 $x$ 轴上方的部分有两个动点 $M$ 、 $N$ ，且点 $N$ 在点 $M$ 的左侧，过点 $M$ 、 $N$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交 $x$ 轴于点 $H$ 、 $G$ ．
①当四边形 $M N G H$ 为正方形时，求 $M N$ 的长；

②当四边形 $M N G H$ 为矩形时，求矩形 $M N G H$ 周长的最大值

查看试题解析
29. 如图1，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

(3)、如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

查看试题解析

$x$	…	$- 1$	0	1	3	4	…
$y = a x^{2} + b x + 3$	…	8		0	0		…