湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题22锐角三角形函数

试卷更新日期：2021-04-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，tanA＝ $\frac{5}{12}$ ，则AC的长为（）

A、25 B、13 C、24 D、12

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2. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　）

A、 $10 \sqrt{3}$ 海里/时 B、30海里/时 C、 $20 \sqrt{3}$ 海里/时 D、 $30 \sqrt{3}$ 海里/时

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3. 若规定 $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ ，则sin15°=（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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4. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（）

A、 $\frac{400}{3} \sqrt{3}$ 米 B、90 $\sqrt{3}$ 米 C、120 $\sqrt{3}$ 米 D、225米

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5. 如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（）（精确到0.1米，参考数值： $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

A、7.6米 B、7.8米 C、8.6米 D、8.8米

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6. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）

A、asinx+bsinx B、acosx+bcosx C、asinx+bcosx. D、acosx+bsinx

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7. 如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（）

A、（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$ ）海里 B、2 $\sqrt{3}$ 海里 C、（ $\sqrt{3}$ +1）海里 D、2 $\sqrt{2}$ 海里

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8. 在△ABC中，AB=12 $\sqrt{2}$ ，AC=13，cosB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则BC的边长为（）

A、7 B、8 C、8或17 D、7或17

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9. 一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、4.64海里 B、5.49海里 C、6.12海里 D、6.21海里

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10. 如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= $\frac{3}{4}$ ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）

A、18cm² B、12cm² C、9cm² D、3cm²

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二、填空题

11. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ， B ， C ， D都在这些小正方形的顶点上，AB ， CD相交于点O ，则cos∠BOD＝．

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12. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠ABC＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则sin∠ABC = ，CD+ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ BD的最小值是．

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13. 某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $A C$ 的坡度 $i$ 为 $1 ： 2$ ，顶端 $C$ 离水平地面 $A B$ 的高度为 $10 m$ ，从顶棚的 $D$ 处看 $E$ 处的仰角 $α = 18 ° 3 0^{'}$ ，竖直的立杆上 $C$ 、 $D$ 两点间的距离为 $4 m$ ， $E$ 处到观众区底端 $A$ 处的水平距离 $A F$ 为 $3 m$ ．则观众区的水平宽度 $A B =$ $m$ ；顶棚的 $E$ 处离地面的高度 $E F =$ $m$ ．（ $\sin 18 ° 3 0^{'} \approx 0.32$ ， $\tan 18 ° 3 0^{'} \approx 0.33$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $\tan A = 3$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，点E是线段CD的一个动点，则 $B E + \frac{\sqrt{10}}{10} C E$ 的最小值是.

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15. 如图，在四边形ABCD中，AB＝ $\sqrt{29}$ ，AD＝7，BC＝8，tan ∠B＝ $\frac{5}{2}$ ，∠C＝∠D，则线段CD的长为．

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16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD= ．

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17. 图2、图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。已知AB=50cm，CD=40cm．

(1)、如图3，当∠ABE=30°时，BC= cm．

(2)、在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为cm² ．

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18. 等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD= ．

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19. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是．

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20. 在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB= $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则∠ABC的大小为度．

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三、解答题

21. 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： $\sin 54.5 ° \approx 0.81$ ， $\cos 54.5 ° \approx 0.58$ ， $\tan 54.5 ° \approx 1.40$ ， $\sin 26.5 ° \approx 0.45$ ， $\cos 26.5 ° \approx 0.89$ ， $\tan 26.5 ° \approx 0.50$ ）

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22. 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 $A B$ （如图），在烟囱正西方向的楼房 $C D$ 的顶端C处，测得烟囱的顶端A的仰角为 $45 °$ ，底端B的俯角为 $30 °$ 已量得 $D B = 24 m$ .拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向 $35 m$ 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1 .732$ ）

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23. 如图，长方形广告牌架在楼房顶部，边长CD=2m，经测量∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长．
（参考数据：tan37°≈0.75， $\sqrt{3}$ ≈1.732，结果精确到0.1m）

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四、综合题

24. 如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15m，顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α＝30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5m.

(1)、求观众区的水平宽度AB.

(2)、求图1中点E离水平地面的高度EA.

(3)、因为遮阳需要，现将顶棚ED绕D点逆时针转动11°30′，若E点在地面上的铅直投影是点F（图2），求AF.（sin11°30′≈0.20，cos11°30′≈0.98，tan11°30′≈0.20；sin18°30′≈0.32，cos18°30′≈0.95，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）

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25. 如图所示，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $D$ 是边 $A C$ 的中点， $C E ⊥ B D$ 交 $A B$ 于点 $E$ .

(1)、求 $\tan ∠ A C E$ 的值；

(2)、求 $A E ： E B$ .

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26. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $O C$ 长为 $2.2 m$ ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间.

(1)、经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

(2)、浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

(3)、若接水槽 $M N$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $A B$ 交于点M， $M O = 8 m$ .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $M N$ 上.（参考数据： $\cos 43^{°} = \sin 47^{°} \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16^{°} = \cos 74^{°} \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22^{°} = \cos 68^{°} \approx \frac{3}{8}$ ）

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27. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： $\sqrt{3}$ ，AB=10米，AE=15米．（i=1： $\sqrt{3}$ 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

(1)、求点B距水平面AE的高度BH；

(2)、求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： $\sqrt{2} \approx$ 1.414， 1.732）

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