湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题21图形的相似

试卷更新日期：2021-04-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA₁时，拉力为F₁ ，过点B₁作B₁C⊥OA，过点A₁作A₁D⊥OA，垂足分别为点C、D.在下列结论中：
① $△ O B_{1} C ∽ △ O A_{1} D$ ；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F₁；④F=F₁ ，正确的是（）

A、①②④ B、②③④ C、①②③ D、①②③④

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2. 如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE ，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N ，给出下列结论：①∠AME=108°，②AN²=AM·AD；③MN= $3 - \sqrt{5}$ ；④BE= $\sqrt{5} + 1$ ，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（）

A、 $\frac{A D}{A C} = \frac{A C}{A B}$ B、 $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D}$ C、 $\frac{D E}{C D} = \frac{C D}{D G}$ D、 $\frac{E G}{E F} = \frac{B D}{B G}$

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4. 将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 $\frac{7}{2}$ ，则点C的坐标是（）

A、（4，2） B、（3， $\frac{3}{2}$ ） C、（3， $\frac{9}{4}$ ） D、（2， $\frac{3}{2}$ ）

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ ， $C D$ 的中点，线段 $A E$ ， $A F$ 与对角线 $B D$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ．设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，则以下4个结论中：① $A M ： M E = 2 ： 1$ ；② $B M ： M N ： N D = 1 ： 1 ： 1$ ；③ $S_{1} + S_{3} + S_{5} = \frac{1}{3} S$ ；④ $S_{2} ： S_{4} ： S_{6} = 2 ： 1 ： 1$ ．正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，已知 $A B / / C D / / E F$ ，它们依次交直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于点 $A$ 、 $D$ 、 $F$ 和点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ ，如果 $A D ： D F = 3 ： 1$ ， $B E = 10$ ，那么 $C E$ 等于（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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7. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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8. 如图，已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣2上的动点，点C（x ， 0）且﹣2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C ，连接AB ．若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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9. 如图，正方形ABCD中，点E为BC右侧一点，∠AEC=90°，作DF⊥AE于点F，若CE=AF=2则正方形的面积为（）

A、16 B、18 C、20 D、25

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10. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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二、填空题

11. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A B = B C ， ∠ A B C = 90 °$ ，点D是 $A B$ 的中点，连结 $C D$ ，过点B作 $B G ⊥ C D$ ，分别交 $C D ， C A$ 于点 $E ， F$ ，与过点A且垂直于 $A B$ 的直线相交于点G，连结 $D F$ ，给出以下几个结论：① $\frac{A G}{A B} = \frac{F G}{F B}$ ；② $∠ A D F = ∠ C D B$ ；③点F是 $G E$ 的中点；④ $A F = \frac{\sqrt{2}}{3} A B$ .其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）.

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12. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt $△$ ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DE $/ /$ AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF= ．

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13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13， $\tan B = \frac{2}{3}$ （如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么 $\frac{CD}{A'D}$ 的值为．

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14. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $M$ 为边 $B C$ 上的点，联结 $A M$ （如图所示），如果将 $Δ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折后，点 $B$ 恰好落在边 $A C$ 的中点处，那么点 $M$ 到 $A C$ 的距离是．

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15. 若 $k = \frac{a + b}{c} = \frac{a + c}{b} = \frac{b + c}{a} (k \neq 0)$ ，则 $k$ 的值为．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 5 ， A C = 4$ ．若进行以下操作，在边 $B C$ 上从左到右依次取点 $D_{1} 、 D_{2} 、 D_{3} 、 D_{4}$ ，过点 $D_{1}$ 作 $A B 、 A C$ 的平行线分别交 $A C 、 A B$ 于点 $E_{1} 、 F_{2}$ ；过点 $D_{2}$ 作 $A B 、 A C$ 的平行线分别交 $A C 、 A B$ 于点 $E_{2} 、 F_{2}$ ；过点 $D_{3}$ 作 $A B 、 A C$ 的平行线分别交 $A C 、 A B$ 于点 $E_{3} 、 F_{3}$ ，则 $4 (D_{1} E_{1} + D_{2} E_{2} + ... + D_{2020} E_{2020}) + 5 (D_{1} F_{1} + D_{2} F_{2} + ... + D_{2020} F_{2020}) =$ ．

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $A F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $B H ⊥ A C$ 于点 $H$ ．交 $A F$ 于点 $G$ ，点 $D$ 在直线 $A F$ 上运动， $B D = D E$ ， $∠ B D E = 120 °$ ， $∠ A B H = 30 °$ ，则 $A E$ 的最小值是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 纸板中，AC=8，BC=4，AB=10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与 $△ A B C$ 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是.

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B$ ，点 $P$ 在直线 $B C$ 上，且 $P C = A B$ ，连接 $B D$ 和 $A P$ 交于点 $Q$ ，若 $B D = 2 \sqrt{5}$ ，则 $A Q$ 的长为．

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20. 已知，边长为6的正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是直线 $A B$ 上一点，点 $F$ 是直线 $A D$ 上一点，且 $B E = D F = 2$ ，连接 $E F$ 交 $B D$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，则线段 $E H$ 的长为．

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三、计算题

21. 已知xyz≠0且 $\frac{x + y}{z} = \frac{z + x}{y} = \frac{y + z}{x} = k$ ，求k的值．

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四、解答题

22. 如图（图形不全），等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 3$ ，点 $D$ 在直线 $B C$ 上，点 $E$ 在直线 $A C$ 上，且 $∠ B A D = ∠ C B E$ ，当 $B D = 1$ 时，求 $A E$ 的长．
几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点 $D$ 在边 $B C$ 上、点 $E$ 在边 $A C$ 上时， $A E = 2$ ；②当点 $D$ 在边 $B C$ 上、点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上时， $A E = \frac{9}{2}$ ．

要求：请针对其它情况，继续求出 $A E$ 的长，并写出总的正确结论．

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23. 附加题：
如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 、 $G$ 分别为 $A D$ 、 $A C$ 的中点， $D F ⊥ B E$ ，垂足为 $F$ ，求证： $F G = D G$ ．

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五、作图题

24. 定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线.

(1)、在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形；

(2)、如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上；

(3)、如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长.

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25. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”；

理解：

(1)、如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；

(2)、如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：

(3)、如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∠EFH＝∠HFG＝30°.连接EG，若△EFG的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求FH 的长.

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26. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞1)，点E是AD边上一定点，且AE＝1．

(1)、当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．

(2)、如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．(不写作法，保留作图痕迹)

(3)、对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？

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六、综合题

27. 如图1， $C D$ 是 $△ A B C$ 的高， $C D^{2} = A D \cdot B D$ .

(1)、求证： $∠ A C B = 90 °$ .

(2)、如图2， $B N$ 是 $△ A B C$ 的中线， $C H ⊥ B N$ 于点I交 $A B$ 于H点，若 $\frac{A C}{B C} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{B H}{A H}$ 的值.

(3)、如图3，M是 $C D$ 的中点， $B M$ 交 $A C$ 于E， $E F ⊥ A B$ 于F.若 $E F = 4$ ， $C E = 3.2$ ，直接写出 $A B$ 的值.

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28. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B C = D C$ ，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，等腰直角 $△ E C F$ 的直角顶点 $C$ 与梯形的顶点 $C$ 重合，将 $△ E C F$ 绕点 $C$ 旋转

(1)、如图1，当 $△ E C F$ 的一边 $C E$ 落在 $B C$ 边上，另一边 $C F$ 落在 $D C$ 边的延长线上时，求证： $△ B C F ≌ △ D C E$

(2)、继续旋转 $△ E C F$ ，旋转角为 $α$ ，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由；

(3)、如图3，继续旋转 $△ E C F$ ，当三角形的一边 $C F$ 与梯形对角线 $A C$ 重合， $E F$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ 时，若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $O F = \frac{\sqrt{5}}{6}$ ，分别求出线段 $O A$ 、 $O B$ 、 $E P$ 的长．

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29. 如图1，矩形ABCD中，已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点E是线段BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将 $△ A B E$ 沿直线AE翻折，点B的对应点为点 $B^{'}$ ，延长 $A B^{'}$ 交CD于点M.

(1)、求证： $A M = F M$ ；

(2)、如图2，若点 $B^{'}$ 恰好落在对角线 $A C$ 上，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值.

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30. 如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 $\sqrt{3}$ 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.

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