湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题19反比例函数

试卷更新日期：2021-04-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $∠ C A D = 90 °$ ，两边分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $D$ ， $C$ ，四边形 $O C A D$ 的面积为 $1$ ， $A E ⊥ x$ 轴于点 $E$ .有下列结论：① $O A = O B$ ；②三角形 $O A E$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ；③线段 $A B$ 的长为 $\sqrt{6}$ ；④不等式 $x > \frac{k}{x}$ 的解集是 $x > 1$ 或 $x < - 1$ .其中正确结论的个数是（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + 6$ 分别与x轴、y轴交于点A、B ，与 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点C、D ．若CD = $\frac{1}{3}$ AB ，则k的值为（）

A、 $4$ ． B、 $6$ ． C、 $8$ ． D、 $10$ ．

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3. 如图，直线l⊥x轴于点P ，且与反比例函数 $y_{1}$ ＝ $\frac{k_{1}}{x}$ （x＞0）及 $y_{2}$ ＝ $\frac{k_{2}}{x}$ （x＞0）的图象分别交于点A、B ，连接OA、OB ，若△OAB的面积为3，则k₁﹣k₂的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、6 D、9

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4. 我们知道，方程x²+2x-1=0的解可看作函数y=x+2的图象与函数y= $\frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标。那么方程kx²+x-4=0(k≠0)的两个解其实就是直线y=kx+1与双曲线y= $\frac{4}{x}$ 的图象交点的横坐标。若这两个交点所对应的坐标为(x₁ ， $\frac{4}{x_{1}}$ )、(x₂ ， $\frac{4}{x_{2}}$ )，且均在直线y=x的同侧，则实数k的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2}$ <k< $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ <k< $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{16}$ <k<0或0<k< $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ <k< $\frac{3}{2}$ 或 $- \frac{1}{16}$ <k<0

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5. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A O B$ 的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴．函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 经过 $O A$ 的中点D，且与 $A B$ 交于点C，则 $\frac{A C}{B C}$ 的值为（）．

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{3}{4}$ D、4

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6. 已知点 $A (0 ， 2) ， B (1 ， 0)$ ，点 $C$ 是函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的一点，若 $∠ A B C = 2 ∠ O A B$ （O为坐标原点），则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 平面直角坐标系中，函数y＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝ $\frac{1}{4}$ x+b的图象交于点B ，与y轴交于点C ．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W ．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）

A、﹣ $\frac{5}{4}$ ≤b＜1或 $\frac{7}{4}$ ＜b≤ $\frac{11}{4}$ B、﹣ $\frac{5}{4}$ ≤b＜1或 $\frac{7}{4}$ ＜b≤ $\frac{11}{4}$ C、﹣ $\frac{5}{4}$ ≤b＜﹣1或﹣ $\frac{7}{4}$ ＜b≤ $\frac{11}{4}$ D、﹣ $\frac{5}{4}$ ≤b＜﹣1或 $\frac{7}{4}$ ＜b≤ $\frac{11}{4}$

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8. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象分别与矩形 $O A B C$ 的边 $A B$ ， $B C$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，与对角线 $O B$ 交于点 $F$ ，以下结论：

①若 $△ O A D$ 与 $△ O C E$ 的面积和为2，则 $k = 2$ ；

②若 $B$ 点坐标为 $(4 ， 2)$ ， $A D ： D B = 1 ： 3$ ，则 $k = 1$ ；

③图中一定有 $\frac{A D}{B D} = \frac{C E}{B E}$ ；

④若点 $F$ 是 $O B$ 的中点，且 $k = 6$ ，则四边形 $O D B E$ 的面积为18.

其中一定正确个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知函数y= $\frac{2}{| x |}$ ，下列说法：
①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A(x₁ ， y₁)、B(x₂ ， y₂)两点在该图象上，且x₁+x₂=0，则y₁=y₂。其中说法正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 如图，点A、B为直线y＝x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线 $y = \frac{1}{x}$ （x＞0）于点C、D两点.若BD＝2AC，则4OC²﹣OD²的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

11. 如图，分别过x轴上的点 $A_{1} (1 ， 0) ， A_{2} (2 ， 0) ， \dots ， A_{n} (n ， 0)$ 作x轴的垂线，与反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 图象的交点分别为 $B_{1} ， B_{2} ， \dots ， B_{n} ， A_{1} B_{2}$ 与 $A_{2} B_{1}$ 相交于点 $P_{1} ， A_{2} B_{3}$ 与 $A_{3} B_{2}$ 相交于点 $P_{2}$ ，…， $A_{n} B_{n + 1}$ 与 $A_{n + 1} B_{n}$ 相交于点 $P_{n}$ ，若 $△ A_{1} B_{1} P_{1}$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ A_{2} B_{2} P_{2}$ 的面积记为 $S_{2}$ ， $△ A_{3} B_{3} P_{3}$ 的面积记为 $S_{3}$ ，… $△ A_{n} B_{n} P_{n}$ 的面积记为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ =

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12. 如图，经过原点的直线与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k>0)相交于A，B两点，BC⊥x轴。若△ABC的面积为4，则k的值为。

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13. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m}$ （m为1~8的整数）．函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象为曲线L．

(1)、若L过点 $T_{1}$ ，则k=；

(2)、若L过点 $T_{4}$ ，则它必定还过另一点 $T_{m}$ ，则m=；

(3)、若曲线L使得 $T_{1} ~ T_{8}$ 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．

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14. 如图，等腰 $Δ A B C$ 的两个顶点 $A (- 1 ， - 4)$ 、 $B (- 4 ， - 1)$ 在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象上， $A C = B C$ .过点C作边 $A B$ 的垂线交反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线 $C D$ 方向运动 $3 \sqrt{2}$ 个单位长度，到达反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （ $x > 0$ ）图象上一点，则 $k_{2} =$ .

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15. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 上， $\frac{A C}{B D} = \frac{2}{3}$ .平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接 $O E$ ， $O F$ ，则 $△ O E F$ 的面积为.

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16. 已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于A、B两点，当线段AB的长最小时，以AB为斜边作等腰直角三角形△ABC，则点C的坐标是．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C。若菱形OABC的面积为6 $\sqrt{3}$ ，则k=。

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18. 如图，点A、B在函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $x > 0$ ， $k > 0$ 且 $k$ 是常数)的图象上，且点A在点B的左侧过点A作 $A M ⊥ x$ 轴，垂足为M，过点B作 $B N ⊥ y$ 轴，垂足为N， $A M$ 与 $B N$ 的交点为C，连结 $A B$ 、 $M N$ .若 $Δ C M N$ 和 $Δ A B C$ 的面积分别为1和4，则k的值为.

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19. 如图，已知△OAB中，AB⊥OB，以O为原点，以BO所在直线为x轴建立坐标系。反比例函数的图象分别交AO，AB于点C，D，已知 $\frac{O C}{A C} = \frac{3}{2}$ ，△ACD的面积为 $\frac{16}{9}$ ，则该反比例函数的解析式为。

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20. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象与边OB交于点C，并且点C为边OB的中点，若△AOB的面积为12，则k的值为。

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三、解答题

21. 如图，将一个∠B= $30^{\circ}$ 的直角三角形板的斜边 $B C$ 放在 $x$ 轴上，直角顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x}$ 的图象上， $A B = 1$ ，求点 $C$ 的坐标．

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22. 如图，△PAB的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象的两个分支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F已知B（1，3）

(1)、k=；

(2)、试说明AE=BF；

(3)、当四边形ABCD的面积为 $\frac{21}{4}$ 时，求点P的坐标。

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23. 综合题

(1)、
探究：如图1 ，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(a ， b).
①若 $\frac{E C}{C G} = \frac{1}{n}$ ，请用含n的代数式表示 $\frac{A C}{C D}$ ；
②求证： $A C = B D$ ；

(2)、
应用：如图2，直线l与坐标轴的正半轴分别交于点A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于点C，D两点(点C在点D的左边)，已知 $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{m}$ ，△OBD的面积为1，试用含m的代数式表示k.

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24. 说明：在解答“结论应用”时，从A，B两题中任选一题作答.
问题探究：
启知学习小组在课外学习时，发现了这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，连接AC，BD，如果△ABC与△BCD的面积相等，那么AD∥BC.在小组交流时，他们在图①中添加了如图所示的辅助线，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.请你完成他们的证明过程.
结论应用：
在平面直角坐标系中，反比例函数y= $\frac{m}{x}$ (x≠0)的图象经过A(1，4)，B(a，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D.

(1)、A
Ⅰ.求反比例函数的表达式；
Ⅱ.如图②，已知b=1，AC，BD相交于点E，求证：CD∥AB.

(2)、B
Ⅰ.求反比例函数的表达式；
Ⅱ.如图③，若点B在第三象限，判断并证明CD与AB的位置关系.

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四、综合题

25. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (2 ， 8)$ ， $B (8 ， 2)$ 两点，连接 $A O$ ， $B O$ ，延长 $A O$ 交反比例函数图象于点 $C$ .

(1)、求一次函数 $y_{1}$ 的表达式与反比例函数 $y_{2}$ 的表达式；

(2)、当 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出自变量 $x$ 的取值范围为；

(3)、点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，当 $S_{△ P A C} = \frac{4}{5} S_{△ A O B}$ 时，请直接写出点 $P$ 的坐标为.

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26. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象交于 $A (- 4 ， 2) ， B (2 ， c)$ 两点.

(1)、求这两个函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.

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27. 如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + 2$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于点 $A (4 ， m)$ 和 $B (- 8 ， - 2)$ ，与y轴交于点C.

(1)、 $k_{1}$ = ， $k_{2}$ =；

(2)、根据函数图象可知，当 $y_{1}$ ＞ $y_{2}$ 时，x的取值范围是；

(3)、过点A作AD⊥x轴于点D ，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E ，当 $S_{四边形 O D A C}$ ： $S_{△ O D E}$ =3：1时，求点P的坐标.

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28. 如图，一次函数y₁=- $- \frac{1}{3}$ x+3与反比例函数y₂= $\frac{k}{x}$ 的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3。

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、结合图象，直接写出y₁<y₂时，x的取值范围。

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29. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为 $(6 ， 1)$ ， $△ A O B$ 的面积为8.

(1)、填空：反比例函数的关系式为；

(2)、求直线 $A B$ 的函数关系式；

(3)、动点P在y轴上运动，当线段 $P A$ 与 $P B$ 之差最大时，求点P的坐标.

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