湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题15四边形

试卷更新日期：2021-04-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D = 6$ ， $B C = 16$ ，E是 $B C$ 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 $A D$ 向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿 $C B$ 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以点 $P ， Q ， E ， D$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为（）

A、1 B、 $\frac{7}{2}$ C、2或 $\frac{7}{2}$ D、1或 $\frac{7}{2}$

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3. 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE②△DFP∽△BPH③△PFD∽△PDB④DP²=PH·PC其中正确的有（）

A、①②③④ B、②③ C、①②④ D、①③

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 是 $A D$ 的中点， $B E$ 与 $C F$ 相交于点 $P$ ，设 $A B = a$ .得到以下结论：① $B E ⊥ C F$ ；② $A P = a$ ；③ $C P = \frac{\sqrt{5}}{5} a$ 则上述结论正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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6. 一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（）

A、增加180° B、减少180° C、不变 D、以上三种情况都有可能

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7. 矩形各内角的平分线能围成一个（）

A、矩形 B、菱形 C、等腰梯形 D、正方形

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8. 如图，正方形 $A B C D$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上，且 $A F ： F B = 1 ： 2$ ， $C E ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A D$ 于点 $E$ ， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $N$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $C M$ ．有如下结论：① $D E = A F$ ；② $A N = \frac{\sqrt{2}}{4} A B$ ；③ $∠ A D F = ∠ G M F$ ；④ $S_{Δ A N F} ： S_{四边形 C N F B} = 1 ： 8$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③④

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9. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（　　）m．

A、3100 B、4600 C、3000 D、3600

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10. 将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）

A、540° B、720° C、900° D、1080°

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二、填空题

11. 如图，在边长为10的菱形 $A B C D$ 中，对角线 $B D = 16$ ，点O是线段 $B D$ 上的动点， $O E ⊥ A B$ 于E， $O F ⊥ A D$ 于F.则 $O E + O F =$ .

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12. 过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画条对角线，且把n边形分成个三角形.

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13. 如图在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为 $\sqrt{3}$ ，则平行四边形ABCD面积为

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14. 如图，设正 △ EFG内接于正方形ABCD，其中，E、F、G分别在边AB、AD、BC上，若 $\frac{A E}{E B} = 2$ ，则 $\frac{B G}{B C} =$ .

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15. 如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．

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16. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交边 $B C$ 于 $E$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ 交边 $B C$ 于 $F$ .若 $A D = 11$ ， $E F = 5$ ，则 $A B =$ .

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17. 如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是．

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18. 如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长．

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19. 如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 $\sqrt{3}$ ，则CE的长为

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A C$ =2， $B D$ =5， $P$ 是 $A C$ 上一动点（ $P$ 不与 $A 、 C$ 重合）， $P E$ ∥ $B C$ 交 $A B$ 于 $E$ ， $P F$ ∥ $C D$ 交 $A D$ 于 $F$ ，则图中阴影部分的面积为。

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三、解答题

21.

(1)、基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．

(2)、应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为．

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22. 一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．

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23. 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断
① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：

(1)、构造一个真命题，画图并给出证明；

(2)、构造一个假命题，举反例加以说明.

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四、作图题

24. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”.如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”.

(1)、如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′.（要求：D、D′在格点上）；

(2)、下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形.

(3)、如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D.
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；

②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积.

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25. 如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8．点E是AB边上一点，求作矩形EFGH，使得点F、G、H分别落在边BC、CD、AD上．设 AE＝m．

(1)、如图①，当m＝1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、写出矩形EFGH的个数及对应的m的取值范围．

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五、综合题

26. 如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，

(1)、求证：四边形 AMCN 是矩形；

(2)、△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由.

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27. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ．

(1)、在图①中， $P$ 是 $B C$ 上一点， $E F$ 垂直平分 $A P$ ，分别交 $A D$ 、 $B C$ 边于点 $E$ 、 $F$ ，求证：四边形 $A F P E$ 是菱形；

(2)、若菱形 $A F P E$ 的四个顶点都在矩形 $A B C D$ 的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是．

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28. 如图，已知矩形 $A B C D$ ， $A D = 4$ ， $C D = 10$ ，P是 $A B$ 上一动点，M、N、E分别是 $P D$ 、 $P C$ 、 $C D$ 的中点.

(1)、求证：四边形 $P M E N$ 是平行四边形；

(2)、当 $A P$ 为何值时，四边形 $P M E N$ 是菱形，说明理由.

(3)、四边形 $P M E N$ 有可能是矩形吗？若有可能，求出 $A P$ 的长；若不可能，请说明理由.

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29.

(1)、如图1，点P为矩形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，过点P作 $E F // B C$ ，分别交 $A B$ 、 $C D$ 于点E、F.若 $B E = 2$ ， $P F = 6$ ， $△ A E P$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C F P$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + S_{2} =$ ；


(2)、如图2，点 $P$ 为 $▱ A B C D$ 内一点（点 $P$ 不在 $B D$ 上），点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为各边的中点.设四边形 $A E P H$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $P F C G$ 的面积为 $S_{2}$ （其中 $S_{2} > S_{1}$ ），求 $△ P B D$ 的面积（用含 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的代数式表示）；

(3)、如图3，点 $P$ 为 $▱ A B C D$ 内一点（点 $P$ 不在 $B D$ 上）过点 $P$ 作 $E F // A D$ ， $H G // A B$ ，与各边分别相交于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ .设四边形 $A E P H$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $P G C F$ 的面积为 $S_{2}$ （其中 $S_{2} > S_{1}$ ），求 $△ P B D$ 的面积（用含 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的代数式表示）；


(4)、如图4，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 把 $⊙ O$ 四等分.请你在圆内选一点 $P$ （点 $P$ 不在 $A C$ 、 $B D$ 上），设 $P B$ 、 $P C$ 、 $\overset{⌢}{B C}$ 围成的封闭图形的面积为 $S_{1}$ ， $P A$ 、 $P D$ 、 $\overset{⌢}{A D}$ 围成的封闭图形的面积为 $S_{2}$ ， $△ P B D$ 的面积为 $S_{3}$ ， $△ P A C$ 的面积为 $S_{4}$ .根据你选的点 $P$ 的位置，直接写出一个含有 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 的等式（写出一种情况即可）.

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