湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题12二次根式

试卷更新日期：2021-04-27 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 小林在计算时遇到以下情况，结果正确的是（）

A、 $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{5^{2}} + \sqrt{12^{2}} = 5 + 12 = 17$ B、 $\sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} = \sqrt{3} - 2$ C、 ${(- \sqrt{4 \frac{2}{3}})}^{2} = \sqrt{{(- 4 \frac{2}{3})}^{2}}$ D、 $\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

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2. 下列各式中能与合并的二次根式的是（）.

A、 $\sqrt{6}$ B、 C、 D、

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3. 若 $\sqrt{{(5 - x)}^{2}} = x - 5$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 5$ B、 $x < 5$ C、 $x \geq 5$ D、 $x \leq 5$

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4. 如果二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（）

A、x≠﹣3 B、x≤﹣3 C、x≥﹣3 D、x＞﹣3

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5. $(a - 1) \sqrt{\frac{1}{1 - a}}$ 化简后的结果为（）

A、 $- \sqrt{1 - a}$ B、 $- \sqrt{a - 1}$ C、 $\sqrt{a - 1}$ D、 $\sqrt{1 - a}$

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6. 已知1＜a＜3，则化简 $\sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ ﹣ $\sqrt{a^{2} - 8 a + 16}$ 的结果是（）

A、2a﹣5 B、5﹣2a C、﹣3 D、3

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7. 等式 $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$ 成立的条件是(　　).

A、x≥1 B、x≥-1 C、-1≤x≤1 D、x≥1或x≤-1

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8. 下列各实数中最大的一个是（）

A、5× $\sqrt{0.039}$ B、 $\frac{3.141}{π}$ C、 $\frac{7}{\sqrt{14} + \sqrt{7}}$ D、 $\sqrt{0.3}$ + $\sqrt{0.2}$

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9. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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10. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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二、填空题

11. 式子 $\sqrt{5 - x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

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12. 计算 $\sqrt{8}$ •（ $\sqrt{8}$ ﹣ $\sqrt{3}$ ）＋ $\sqrt{3}$ •（ $\sqrt{8}$ ﹣ $\sqrt{3}$ ）的结果是.

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13. 若x<2，化简 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}} + | 3 - x |$ 的正确结果是.

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14. 若x＝ $\sqrt{2}$ ﹣1，则x³＋x²﹣3x＋2035的值为.

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15. 若 $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = 1 - x$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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16. 化简 $\sqrt{14 - 8 \sqrt{3}}$ ＝

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17. 观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；

② $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

③ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

…

参照上面等式计算方法计算：

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{3 \sqrt{11} + \sqrt{101}} =$ .

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18. 化简 $\sqrt{- a^{3}} =$ .

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19. 已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的值也是整数，那么称（a,b）是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ =4，（4，4）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 所以（1,1）和（4，4）都是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”，请你再写出一个2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”： .

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20. 设m、x、y均为正整数，且 $\sqrt{m - \sqrt{28}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ ，则（x+y+m）²=.

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三、计算题

21. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b ⩾ 0)$ .
例如化简： $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，

这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，

由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，

所以 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7, \sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，

所以 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ .

根据上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ .

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22. 观察下列等式：① $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$
② $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；

③ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ；……

回答下列问题：

(1)、利用你观察到的规律，
①化简： $\frac{1}{2 \sqrt{3} + \sqrt{11}}$

②仿照上例等式，写出第n个式子

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + 2} + ...... + \frac{1}{\sqrt{2017} + \sqrt{2018}}$ .

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四、解答题

23. 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求 $b^{a}$ 的值？

解：由题意得： $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，

因为a、b都是有理数，

所以a-3、b+2也是有理数，

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，

所以a-3＝0、b+2＝0，

所以a＝3、b＝-2，

所以 $b^{a} = {(- 2)}^{3} = - 8$ ，

问题：设x、y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5}$ ，求x+y的值，

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24. 若x，y为实数，且 $y > \sqrt{(x - 2)} + \sqrt{(2 - x)} + 2$ ，化简： $\frac{1}{2 - y} \sqrt{y^{2} - 4 y + 4} + \sqrt{2 x}$ .

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五、综合题

25. 阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ＝ $\frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ ＝ $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ （1）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ＝ $\frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ （2）

(1)、请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$
方法一： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ＝

方法二： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ＝

(2)、直接写出化简结果： $\frac{2}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}$ ＝ $\frac{2}{\sqrt{15} + \sqrt{13}}$ ＝

(3)、计算： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ + $\frac{2}{\sqrt{8} + \sqrt{5}}$ + $\frac{2}{\sqrt{11} + \sqrt{8}}$ +…+ $\frac{2}{\sqrt{32} + \sqrt{29}}$ + $\frac{2}{\sqrt{35} + \sqrt{32}}$

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26. 有这样一类题目：将 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 化简，如果你能找到两个数m、n，使m²＋n²＝a 且mn＝ $\sqrt{b}$ ，则a±2 $\sqrt{b}$ 将变成m²＋n²±2mn，即变成(m±n)² ，从而使 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 得以化简．例如，因为5＋2 $\sqrt{6}$ ＝3＋2＋2 $\sqrt{6}$ ＝( $\sqrt{3}$ )²＋( $\sqrt{2}$ )²＋2 $\sqrt{2}$ × $\sqrt{3}$ ＝( $\sqrt{3}$ ＋ $\sqrt{2}$ )² ，所以 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ＝ $\sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
请仿照上面的例子化简下列根式：

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$

(2)、 $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}}$

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27. 观察下列等式：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$

解答下列问题：

(1)、写出一个无理数，使它与 $3 - \sqrt{2}$ 的积为有理数；

(2)、利用你观察的规律，化简 $\frac{1}{2 \sqrt{3} + \sqrt{11}}$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots \dots + \frac{1}{3 + \sqrt{10}}$ ．

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28. 观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$

例2： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ， $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ；

(2)、请你用含 $n$ （ $n$ 为正整数）的关系式表示上述各式子；

(3)、利用上面的结论，求下面式子的值.
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

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29. 模拟应用在进行二次根式的除法运算时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ （一）；

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ （二）；

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \sqrt{3} - 1$ （三）.

以上这种化简的步骤叫分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ （四）.

(1)、请用不同的方法化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .
①参照（三）式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} =$ ；

②参照（四）式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ .

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