河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N | x < 6}$ ，集合 $A = {1 ， 3}$ ， $B = {2 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B)$ 等于（）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${5}$ C、 ${0 ， 5}$ D、 ${2 ， 4}$

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2. 设复数 $z = \frac{3 - i}{1 - 2 i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(\sqrt{5} ， \sqrt{5})$ C、 $(\frac{1}{5} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， \sqrt{5})$

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3. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} + 6 > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} + 6 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} + 6 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 6 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + 6 \leq 0$

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4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A、 $y = 2^{x} - 2$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \ln x$ D、 $y = x^{2} - 1$

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5. 若 $a = 3^{0.3}$ ， $b = \log_{π} 3$ ， $c = \log_{0.3} e$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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6. 为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）

A、20 B、18 C、36 D、12

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7. 某班有60名学生，一次考试的成绩 $ξ$ 服从正态分布 $N (90 ， 5^{2})$ ，若 $P (80 \leq ξ < 90) = 0.3$ ，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）

A、12 B、20 C、30 D、40

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8. 若正实数a,b，满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{b}{3 a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{6}$ C、5 D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 函数f(x)＝ $\frac{1 - x^{2}}{e^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若定义在 $[a ， b]$ 上的函数 $f (x) = | \ln x |$ 的值域为 $[0 ， 1]$ ，则 $b - a$ 的最小值为（）

A、 $e - 1$ B、 $1 - e$ C、 $1 - \frac{1}{e}$ D、 $\frac{1}{e} - 1$

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11. 已知命题 $p ： x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ；命题 $q ： x > a$ ，且 $\neg q$ 的一个充分不必要条件是 $\neg p$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3]$

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12. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (\log_{2} 9) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、8 C、-10 D、 $- \frac{25}{9}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} x & x > 0 \\ 3^{x} & x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})] =$ .

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14. 曲线 $f (x) = x \ln x$ 在 $x = e$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）处的切线方程为．

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15. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - \ln x + 3$ 在其定义域内的一个子区间 $(a - 1 ， a + 1)$ 内存在极值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．

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三、解答题

17. 如果 ${(x + \frac{1}{x})}^{2 n}$ 展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项.

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m < 0$ ．
（Ⅰ）若不等式的解集为 $(- 2 ， 3)$ ，求实数 $m$ 的值；

（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{- 2 m^{2} + m + 3} (m \in Z)$ 为偶函数，且 $f (3) < f (5)$ ．

(1)、求 $m$ 的值，并确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = \log_{a} [f (x) - 2 x]$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )，求 $g (x)$ 在 $(2, 3]$ 上值域．

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20. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100

km/h

的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100

km/h

的有25人.

参考公式与数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100

km/h

的人与性别有关.

	平均车速超过100 $km/h$ 人数	平均车速不超过100 $km/h$ 人数	合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计

(2)、以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100

km/h

的车辆数为

X

，若每次抽取的结果是相互独立的，求

X

的分布列和数学期望.

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21. 在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入

x

（万元）与升级改造直接收益

y

（万元）的数据统计如下：

$x$	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
$y$	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

当 $0 < x \leq 17$ 时，建立了 $y$ 与 $x$ 的两个回归模型：模型①： $\hat{y} = 4.1 x + 11.8$ ；模型②： $\hat{y} = 21.3 \sqrt{x} - 14.4$ ；当 $x > 17$ 时，确定 $y$ 与 $x$ 满足的线性回归方程为： $\hat{y} = - 0.7 x + a$ ．

（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当 $0 < x \leq 17$ 时模型①、②的相关指数 $R^{2}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．

回归模型	模型①	模型②
回归方程	$\hat{y} = 4.1 x + 11.8$	$\hat{y} = 21.3 \sqrt{x} - 14.4$
$\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$	182.4	79.2

（附：刻画回归效果的相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ， $\sqrt{17} \approx 4.1$ ．）

（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；

（附：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的系数公式 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x - \ln x$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $a x + f (x) = x^{2} - x (a > 0)$ 的两个不同的实数根，求证： $\ln x_{1} + \ln x_{2} + 2 \ln a < 0$ ．

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