福建省厦门市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = (3 - i) (1 + i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、20

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2. 某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（）

A、10 B、30 C、60 D、125

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3. 已知直线 $x + 2 y - 2 = 0$ ，经过椭圆的上顶点和右焦点，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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4. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观侧数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（）

A、模型一 B、模型二 C、模型三 D、模型四

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5. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、-20 B、-15 C、15 D、20

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6. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面的次数多于反面的次数的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{8}$

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7. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，则此几何体的最长棱的长度为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、12

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8. 若对任意的 $a \in R$ ，不等式 $e^{2 a} + a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 20$ 恒成立，则实数b的取值范围是（）

A、 $b \geq 2 \sqrt{5}$ B、 $b \geq 3 + \ln 2$ C、 $b \geq 4 + \ln 2$ D、 $b \geq 5 + \ln 2$

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二、多选题

9. 对300名考生的数学竞赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.01$ B、成绩落在 $[80 ， 90)$ 的考生人数最多 C、成绩的中位数大于80 D、成绩的平均分落在 $[70 ， 80)$

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10. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $\frac{1}{2}$ 为 $f (x)$ 的零点 B、2为 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上单调递减 D、 $f (- 2)$ 是 $f (x)$ 的最小值

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30 °$ 的直线分别交y轴与双曲线右支于点M ， P ， $| P M | = | M F_{1} |$ ，下列判断正确的是（）

A、 $∠ P F_{2} F_{1} = \frac{π}{3}$ B、 $| M F_{2} | = \frac{1}{2} | P F_{1} |$ C、E的离心率等于 $\sqrt{3}$ D、E的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$

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12. 正态分布

N (0 ， 1)

的称为标准正态分布，通过查找标准正态分布表（见附表）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率，在这个表中，相应于

x_{0}

的的值中

Φ (x_{0})

的是指总体取值小于x₀的概率，即

Φ (x_{0}) = P (X < x_{0})

（见图）：使用时，在标准正态分布表中的第一列查到

x_{0}

的整数位与小数点后第一位，然后在第一行查到

x_{0}

的小数点后第二位，即可确定中

Φ (x_{0})

，例如：

Φ (0.64) = 0.7389

.可以证明，对任何一个正态分布

X ~ N (μ ， σ^{2})

来说，通过

Y = \frac{X - μ}{σ}

转化成标准正态分布

Y ~ N (0 ， 1)

，且有

P (X < a) = P (Y < \frac{a - μ}{σ})

，下列选项正确的是（）

附表：标准正态分布表 $Φ (x_{0})$

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7459
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

A、

Φ (0) = 0.5

B、

Φ (- x_{0}) = 1 - Φ (x_{0})

C、若

ξ ~ N (0 ， 1)

，则

P (ξ \geq 0.97) = 0.834

D、若

η ~ N (3 ， 2^{2})

，则

P (2 \leq η < 4) = 0.383

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三、填空题

13. 在复平面内，复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ 对应的点位于第象限.

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14. 平面内有6条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点.共有个交点（用数字作答）.

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15. 若实数x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \geq - 1 \\ x + y \leq 7 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值是.

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16. 我们知道：双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数.若P是双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点，过P作E的两渐近线的垂线，垂足分别为A、B ，若 $| P A | = \frac{1}{2}$ ，则 $| P B | =$ ， $| A B | =$ .

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四、解答题

17. 曲线 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = 9 x - 15$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{3}{2} ， 3]$ 的最值.

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18. 2020年4月21日，习近平总书记向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许，某校为了了解全校学生体育锻炼的情况，随机抽取200名学生进行调查，统计其每天参加锻炼时长（该校学生每天的锻炼时长都落在20～80分钟之间），得到见表：

每天锻炼的时长（分钟）	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$
人数	7	12	34	27	80	40

将每天锻炼时长落在 $[60, 80]$ 的学生称为“运动达人”.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635

(1)、请根据上述表格的统计数据，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关：

	运动达人	非运动达人	合计
男生			100
女生	55
合计			200

(2)、用分层抽样的方法从“运动达人”中抽取6名学生参加经验分享会，再从中随机抽取2名学生发言.求发言的学生中至少有1名锻炼时长不低于70分钟的概率.

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19. 动圆P与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 外切，与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切，记圆心P的轨迹为E.

(1)、求E的方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 作直线l交E于A ， B两点，若 $A B$ 中点的纵坐标为 $\frac{3}{2}$ ，且 $\vec{A F} = λ \vec{F B} (λ > 1)$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 小夏经营一家夜市摊点，她准备参加当地为期5天的饮食文化节，期间每天获利与是否下雨有关：如果不下雨每天可获利1000元，如果下雨每天将亏损200元，气象资料显示饮食文化节期间每天下雨的概率是0.2，且每天下雨与否相互独立.

(1)、求饮食文化节开始后，直到第3天才下雨的概率；

(2)、在饮食文化节期间小夏获利的期望是多少？

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21. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 上的两点M ， N关于x轴对称，A是 $Γ$ 的左顶点，点 $S (- 1, 0)$ ，当 $| M N | = \frac{\sqrt{7}}{2}$ 时，四边形 $A N S M$ 是菱形.

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、连接 $N S$ 并延长交 $Γ$ 于异于M的一点P ，求证：直线 $M P$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} - \frac{1}{2} (a \in R)$ 的导函数为 $g (x)$ .

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、证明：存在 $a \in (0 ， \frac{1}{2})$ ，使 $f (x)$ 有且仅有一个零点.

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