福建省宁德市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ( $i$ 为虚数单位)， $\bar{z}$ 为其共轭复数，则 $\bar{z}$ 表示的点在复平面的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若随机变量 $η$ 的分布列如下：

$η$

-2

-1

0

1

2

3

$P$

0.1

0.2

0.2

0.3

0.1

0.1

则 $P (η < 1) =$ （）

A、0.8 B、0.5 C、0.3 D、0.2

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3. 若 $2 A_{n}^{2} = 3 C_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、9 B、8 C、7 D、6

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4. 函数 $f (x)$ 的定义域为开区间 $(a ， b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 内的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 在开区间 $(a ， b)$ 内有极小值点（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ，已知 $X ~ N (1, 3^{2})$ ，则 $P (4 < X \leq 7) =$ （）

A、0.4077 B、0.2718 C、0.1359 D、0.0453

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6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件 $A =$ {两次的点数均为偶数}， $B =$ {两次的点数之和小于8}，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 若函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{x + 1}$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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8. 复学后，某学校贯彻“科学防疫”，实行“戴口罩，间隔(不相邻)坐”.一排8个位置仅安排小华､小明等4名同学就坐，且小华要坐在小明左侧，则不同的安排方法种数为（）

A、160 B、120 C、60 D、30

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9. 法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题：他们相约赌博，约定先赢满4局者可获得全部赌金600法郎，赌了半天，甲赢了3局，乙赢了2局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局甲赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每局输赢相互独立，那么这600法郎比较合理的分配是（）

A、甲300法郎，乙300法郎 B、甲480法郎，乙120法郎 C、甲450法郎，乙150法郎 D、甲400法郎，乙200法郎

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10. 为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售 $A$ ､ $B$ 两种小商品.当投资额为 $x (x \geq 0)$ 千元时，在销售 $A$ ､ $B$ 商品中所获收益分别为 $f (x)$ 千元与 $g (x)$ 千元，其中 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = 5 \ln (2 x + 1)$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售 $A$ ､ $B$ 两种小商品，为使总收益最大，则 $A$ 商品需投入（）

A、4千元 B、3千元 C、2千元 D、1千元

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二、多选题

11. 下列说法正确的有（）

A、若离散型随机变量 $X$ 的数学期望为 $E (X) = 5$ ，方差为 $D (X) = 2$ ，则 $E (2 X - 1) = 9$ ， $D (2 X - 1) = 8$ B、若复数 $z$ 满足 $| z - 3 - 4 i | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为6 C、4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法 D、10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有 $C_{9}^{3}$ 种不同分法

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12. 已知函数 $f (x) = \cos x + e^{| x |} (x \in R)$ ，则下列判断正确的是：（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称 B、函数 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最小值为2，无最大值 D、不等式 $f (1 - 2 x) - f (x) < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{3} ， 1)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是.

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14. 对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ 有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3 \cdot \cdot \cdot, 8)$ ，其回归直线方程是 $\hat{y} = \frac{1}{3} x + \hat{a}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{8} = 24$ ， $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{8} = 12$ ，则实数 $a$ 的值是.

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15. 若函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2} (a \neq 0)$ 仅有1个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 定义：在等式 ${(x^{2} + x - 2)}^{n} = D_{n}^{0} x^{2 n} + D_{n}^{1} x^{2 n - 1} + D_{n}^{2} x^{2 n - 2} + \dots + D_{n}^{2 n - 1} x + D_{n}^{2 n} (n \in N_{+})$ 中，把 $D_{n}^{0}$ ， $D_{n}^{1}$ ， $D_{n}^{2}$ ，…， $D_{n}^{2 n}$ 叫做三项式 ${(x^{2} + x - 2)}^{n}$ 的 $n$ 次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则

(1)、三项式 ${(x^{2} + x - 2)}^{n}$ 的2次系数列各项之和等于；

(2)、 $D_{4}^{3} =$ .

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1}$ 满足： $| z_{1} | = 1 + i + z_{1}$ .

(1)、求 $z_{1}$ ；

(2)、若复数 $z_{2} = a^{2} - 1 + (a - 1) z_{1} (a \in R)$ ，且 $z_{2}$ 是纯虚数，求 $a$ 的值.

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18. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队为研究潜伏期与患者年龄的关系，从1000名患者中抽取200人，以潜伏期是否超过6天为标准进行统计得到如下列联表，其中50岁以上(含50岁)的患者中潜伏期大于6天的占

35 %

(参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ )

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.076	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据题意，补充完整列联表：

	潜伏期 $\leq 6$ 天	潜伏期 $> 6$ 天	总计
50岁以上(含50岁)			100
50岁以下	55
总计			200

(2)、根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关？

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19. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前3项的系数的和为73.

(1)、求 $n$ 的值及展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中的有理项.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 2 (x \in R)$ .

(1)、当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、设函数 $g (x) = - 6 x^{2} - 24 x + t (t \in R)$ ， $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使 $f (x) < g (x)$ 成立，求 $t$ 的取值范围.

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21. 2019年春节期间，某超市举办了一次大型有奖促销活动，消费每超过800元(含800元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有12个形状､大小完全相同的小球(其中红球4个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

方案二：从装有12个形状､大小完全相同的小球(其中红球4个，黑球8个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受打5折优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折.

(1)、若两个顾客均消费了1100元，且均选择抽奖方案二，试求两位顾客均享受五折优惠的概率；

(2)、若某顾客消费1100元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = f (x) + a x$ ，若函数 $g (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且不等式 $g (x_{1}) + g (x_{2}) - k (x_{1} + x_{2}) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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$η$	-2	-1	0	1	2	3
$P$	0.1	0.2	0.2	0.3	0.1	0.1