福建省南平市2019—2020学年高二下学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x < 0}$ ， $N = {x | x \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $[\frac{1}{2}, 1)$ B、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, + \infty)$

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2. 已知实数x，“ $x \geq 2$ ”是“ $x \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 2020年6月25日是中国的传统佳节“端午节”，这天人们会悬菖蒲，吃粽子，赛龙舟，喝雄黄酒．现有7个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 从2020名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采取下面的方法选取：先用简单随机抽样从2020人中剔除20人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2020人中，每人入选的概率为（）

A、不全相等 B、均不相等 C、都相等，且为 $\frac{5}{101}$ D、都相等，且为 $\frac{5}{202}$

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5. 已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ，在 $[1, 9]$ 上随机取一个实数，使得 $f (x_{0}) \geq 3$ 成立的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 \ln | x |}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟从这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2020) =$ （）

A、0 B、505 C、1010 D、2020

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二、多选题

9. 下图是正态分布 $N (0 ， 1)$ 的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（）

A、 $\frac{1}{2} - P (X \leq - t)$ B、 $P (X \leq 1 - t) - \frac{1}{2}$ C、 $P (X \leq t) - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} - P (X \geq t)$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{- x}{| x | + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ D、方程 $f (x) + x^{2} = 0$ 有两个实数根

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11. 下列说法中正确的是（）

A、若一组数据1，a，3的平均数是2，则该组数据的方差是 $\frac{2}{3}$ B、若n组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 的散点都在y=-x+1上，则相关系数 $r = 1$ C、若某产品的销量x（件）与相应的售价y（元）的一组统计数据如下，且据此所求得的回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，则a的值为3

x

3

4

5

6

y

2.5

a

4

4.5

D、若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1

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12. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在原点处的切线方程为 $y = - 2 x$ B、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $x = - \sqrt{2}$ C、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - \sqrt{2})$ 上有一个零点 D、函数 $f (x)$ 在R上有两个零点

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三、填空题

13. $e^{0} + \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} - 8^{\frac{1}{6}} + 2^{\log_{2} \frac{2}{3}} =$ ．

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14. ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式 $\frac{1}{x^{2}}$ 项的系数是．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{a} - \ln x$ （e为自然对数的底数，a为常数且 $a \neq 0$ ）， $f (x)$ 在定义域内单调递减，则a的取值范围．

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16. 在一次随机试验中，事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，事件 $A$ 发生的次数为 $ξ$ ，则期望 $E (ξ) =$ ，方差 $D (ξ)$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - 2 x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a) = - 7$ ，求实数a的值．

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18. 某重点中学为了了解学生在期末市统考中的数学考试情况，抽取了100名学生的数学成绩．以 $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ ， $[100 ， 110)$ ， $[110 ， 120)$ ， $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150]$ 分组的频率分布直方图如下图所示：

(1)、求直方图中x的值；

(2)、求数学成绩的中位数；

(3)、在数学成绩为 $[120 ， 130)$ ， $[130 ， 140)$ ， $[140 ， 150]$ 的三组学生中，用分层抽样的方法抽取6名学生，在这6名学生中选出2名学生参加数学竞赛，求至少有一名学生在 $[130 ， 140)$ 分组的概率．

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19. 某市消费者协会为了解某社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购者性别、网购消费金额、网购次数、支付方式等进行了问卷调查，并将网购消费金额在2万元以上的网购者称为“网购迷”，其余称为“非网购迷”，已知在100位居民中随机抽取1人，抽到男性的概率为

\frac{3}{5}

．

附临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、请补充完成下面的

2 \times 2

列联表：

	男	女	合计
网购迷		20
非网购迷	45
合计			100

(2)、根据

2 \times 2

列联表，计算

K^{2}

的估计值k（精确到0.001），并判断有多少的把握认为“网购迷与性别有关系”．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程为 $l ： x + y - 5 = 0$ ，当 $x = 2$ 时， $y = f (x)$ 取得极值．

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求 $y = f (x)$ 在 $x \in [0 ， 3]$ 上的最大值和最小值．

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21. 三年前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境．我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．上海作为我国首个进行垃圾分类的城市，从2019年7月开始实施至今，为了更好的回收和利用，每个小区都有规定时间投放垃圾，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．例如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸．现调查了上海市5个小区2019年10月的生活垃圾投放情况，其中在规定时间内投放垃圾的百分比和可回收物中废纸投放量如下表所示：

	A小区	B小区	C小区	D小区	E小区
在规定时间内投放的百分比（%）	90%	85%	83%	79%	75%
废纸投放量（吨）	5.1	4.8	5.2	4.9	5

(1)、从这5个小区中任选1个小区，求该小区2019年10月在规定时间内投放垃圾的百分比不低于80%，且废纸投放量大于5吨的概率；

(2)、从这5个小区中任选2个小区，记X为2019年10月投放的废纸可再造好纸大于4吨的小区个数，求X的分布列及期望；

(3)、若将频率视为概率，在上海市任选4个小区，恰有2个小区2019年10月在规定时间内投放垃圾的百分比不低于80%，且废纸投放量大于5吨的概率．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $g (x) = f (x) - x^{2}$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 2$ 时， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个零点，判断 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 是否为 $f^{'} (x)$ 的零点？并说明理由．

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x	3	4	5	6
y	2.5	a	4	4.5