福建省福州市四校（长乐高级中学、永泰城关中学、文笔中学、元洪中学）2019-2020学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 4}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, 4)$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$

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3. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} + 1 \leq 2 x_{0}$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + 1 > 2 x$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + 1 \leq 2 x$ C、 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{2} + 1 \leq 2 x$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 0]$ ， $x^{2} + 1 > 2 x$

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 4 x - y - 10 \leq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \\ x \geq 0 ， y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为（）

A、10 B、8 C、5 D、-6

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5. 某种电子元件用满3000小时不坏的概率为 $\frac{3}{4}$ ，用满8 000小时不坏的概率为 $\frac{1}{2}$ ，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {log}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{4 \ln | x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1, & x ⩾ 0 \\ m x + m - 1, & x < 0 \end{array}$ 为增函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 3]$ B、 $(0, 3)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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二、多选题

9. $2^{x} > 1$ 的充分不必要条件是（）

A、 $x < 0$ B、 $x > 0$ C、 $0 < x < 1$ D、 $x > 1$

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10. 下列说法正确的有（）

A、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，若 $P (ξ ⩽ 3) = 0.84$ ，则 $P (ξ ⩽ 1) = 0.16$ B、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 7)$ ，若 $P (X > m + 1) = P (X > m - 1)$ ，则 $m = 3$ C、设随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3)$ 等于 $\frac{3}{16}$ D、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为 $\frac{54}{125}$

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11. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0, 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 2 x^{3} + 4 x$ B、 $y = x + \sin (- x)$ C、 $y = \log_{2} | x |$ D、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$

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12. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (2 - x) - \log_{2} (x + 4)$ ，则下列结论中错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 4, 2]$ B、函数 $y = f (x - 1)$ 是偶函数 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2)$ 上是减函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 轴对称

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x ⩽ 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{4}) + f (- 2) =$ .

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14. 有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有．

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15. 已知偶函数 $y = f (x) (x \in R)$ 在区间 $[- 1 ， 0]$ 上单调递增，且满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ，给出下列判断：
① $f (5) = 0$ ；

② $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是减函数；

③函数 $f (x)$ 没有最小值；

④函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得最大值；

⑤ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称．

其中正确的序号是．

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16. 已知二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的各项系数和为243，则 $n =$ ，展开式中常数项为.

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四、解答题

17. 已知 ${(1 + m x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ 中，且 $a_{3} = - 35$ .

(1)、求m的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 的值.

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18. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ,现安排甲组研发新产品 $A$ ,乙组研发新产品 $B$ .设甲,乙两组的研发是相互独立的.

(1)、求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)、若新产品 $A$ 研发成功,预计企业可获得 $120$ 万元,若新产品 $B$ 研发成功,预计企业可获得利润 $100$ 万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

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19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的

PM 2.5

和

{SO}_{2}

浓度（单位：

μ {g/m}^{3}

），得下表：

${SO}_{2}$ $PM 2.5$	$[0, 50]$	$(50, 150]$	$(150, 475]$

$[0, 35]$	32	18	4
$(35, 75]$	6	8	12
$(75, 115]$	3	7	10

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k)$	0.050 0.010 0.001
$k$	3.841 6.635 10.828

(1)、估计事件“该市一天空气中

PM 2.5

浓度不超过75，且

{SO}_{2}

浓度不超过150”的概率；

(2)、根据所给数据，完成下面的

2 \times 2

列联表：

${SO}_{2}$

$PM 2.5$

$[0, 150]$

$(150, 475]$

$[0, 75]$

$(75, 115]$

(3)、根据（2）中的列联表，判断是否有

99 %

的把握认为该市一天空气中

PM 2.5

浓度与

{SO}_{2}

浓度有关？

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20. 已知二次函数 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x$ .

(1)、若 $f (x) + t \geq 0$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = - f (x) + m x$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时，若 $g (x)$ 的最大值为2，求 $m$ 的值.

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21. 每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学､夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出(单位：百元)频率分布方图如图.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、在 $[45 ， 50)$ ， $[50 ， 55)$ ， $[55 ， 60)$ 三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析.
①求每组恰好各被选出 $1$ 人的概率；

②设 $ξ$ 为选出的3人中 $[45 ， 50)$ 这一组的人数，求随机变量 $ξ$ 的分布列.

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22. 2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入

x

（百万元）与收益

y

（百万元）的数据统计如下：

科技投入 $x$	2	4	6	8	10	12
收益 $y$	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2

并根据数据绘制散点图如图所示：

根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线 $y = c \cdot 2^{b x}$ 的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$	$\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
43.5	4.5	854.0	34.7	12730.4	70

其中 $z_{i} = \log_{2} y_{i}$ ， $\bar{z} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} z_{i}$ .

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，…， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ，相关指数： $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - {\hat{v}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}}$ .

(1)、（i）请根据表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程（保留一位小数）；

（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中 $\log_{2} 5 \approx 2.3$ ）

(2)、乙认为样本点分布在二次曲线

y = m x^{2} + n

的周围，并计算得回归方程为

y = 0.92 x^{2} - 12.0

，以及该回归模型的相关指数

R^{2} = 0.94

，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.

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