福建省福州市八县（市）协作体2019-2020学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 2}}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、1{} B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（）

A、60种 B、12种 C、10种 D、9种

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3. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (80, σ^{2})$ ，且 $P (75 < X \leq 80) = 0.1$ .该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（）

A、140 B、105 C、70 D、35

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4. 端午节是我国的传统节日，每逢端午家家户户都要吃粽子，现有5个粽子，其中3个咸蛋黄馅2个豆沙馅，随机取出2个，事件 $A =$ “取到的2个为同一种馅”，事件 $B =$ “取到的2个都是豆沙馅”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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5. 设 $a = {1.2}^{0.4}$ ， $b = {1.2}^{0.8}$ ， $c = \log_{1.2} 1.1$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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6. 函数 $y = x^{2} - 2^{| x |} (x \in R)$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $(1 + x) {(1 - a x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为15，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、1或 $- \frac{3}{2}$ D、-1或 $\frac{3}{2}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2 - 2^{x}$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2020)$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、若 $X ~ B (n, \frac{1}{3})$ ，且 $E X = 2$ ，则 $n = 6$ C、回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.71$ 中，变量 $y$ 与 $x$ 具有正的线性相关关系，变量 $x$ 增加1个单位时， $y$ 平均增加0.85个单位 D、将2本不同的数学书和1本语文书随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 $\frac{1}{3}$

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10. 如图是某省2015-2019五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）

A、这五年，2018年出口额最少 B、这五年，出口总额比进口总额多 C、这五年，出口增速前四年逐年下降 D、这五年，2019年进口增速最快

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11. 下列选项中说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 x)$ 的单调减区间为 $(- \infty, 1)$ B、幂函数 $f (x) = m x^{α}$ 过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $m + α = \frac{3}{2}$ C、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (2^{x})$ 的定义域为 $[2, 4]$ D、若函数 $f (x) = \lg (a x^{2} + 5 x + 4)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $[0, \frac{25}{16}]$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (x - 1)$ B、函数 $f (x)$ 有5个零点 C、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (2 ， + \infty)$ ，则 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 2$

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = e x + e^{x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + a > 0$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 对定义域内 $R$ 内的任意 $x$ 都有 $f (x) = f (4 - x)$ ，且当 $x \neq 2$ ，其导数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) < 2 f^{'} (x)$ ，若 $f (3) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为.

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16. 若 ${(2 - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0}$ 等于； $a_{2} + a_{4} + a_{6}$ 等于.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 6 + 5 x - x^{2} > 0}$ ，集合 $B = {x | (x - 1 + a) (x - 1 - a) > 0}$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、设 $p : x \in A$ ， $q : x \in B$ .若 $\neg p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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18. 3月3日，武汉大学人民医院的团队在SSRN上发布了一项研究，根据研究结果，研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：

	轻—中度感染	重度（包括危重）	总计
男性患者	10	$m$	$x$
女性患者	20	$n$	$y$
总计	30	70	100

附表及公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？

(2)、该学生实验小组打算从“轻—中度感染”的患者中按男女比例再抽取6人，追踪某种中药制剂的效果.然后从这6人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 5 x + 3$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 3 ， 1]$ 上的最值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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20. 某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间

x

（天数）与销售单价

y

（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
1.63	37.8	0.89	5.15	0.92	$- 20.6$	18.40

表中 $w_{i} = \frac{1}{x_{i}} ， \bar{w} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} w_{i}$ .

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， (u_{3} ， v_{3}) \dots ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据散点图判断，

\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x

与

\hat{y} = \hat{c} + \frac{\hat{d}}{x}

哪一个更适合作价格

y

关于时间

x

的回归方程类型？（不必说明理由）

(2)、根据判断结果和表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程.

(3)、若该产品的日销售量

g (x)

（件）与时间

x

的函数关系为

g (x) = \frac{- 100}{x} + 120 (x \in N^{*})

，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？

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21. 某花店每天以每枝5元价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理

(1)、若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 $y$ （单位：元）关于当天需求量 $n$ （单位：枝， $n \in N$ ）的函数解析式.

(2)、花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量 $n$

15

16

17

18

19

20

频数

15

20

20

18

16

11

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花， $X$ 表示当天的利润（单位：元），求 $X$ 的分布列，数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进17枝或18枝玫瑰花，你认为应购进17枝还是18枝？请说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} - (a - 2) x - a \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = c (c \in R)$ ，有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，比较 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 与0的大小.

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日需求量 $n$	15	16	17	18	19	20
频数	15	20	20	18	16	11