北京市丰台区2019—2020学年高二下学期数学期末练习试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = - 1$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - 2$

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 3 x$

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3. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6个点数）的随机试验中，用X表示骰子向上的一面的点数，那么 $P (X \leq 3)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（）

A、21 B、28 C、42 D、56

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5. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、-20 B、-15 C、15 D、20

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6. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 3.5$ ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（）

A、 $\hat{y} = 0.4 x + 2.3$ B、 $\hat{y} = 2 x - 2.4$ C、 $\hat{y} = - 2 x + 9.5$ D、 $\hat{y} = - 0.3 x + 4.4$

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7. 用0，1，2，3组成的没有重复数字的全部四位数中，若按照从小到大的顺序排列，则第10个数应该是（）

A、2103 B、2130 C、2301 D、2310

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8. 在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中，通过对列联表的数据进行处理，计算得到随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k \approx 56.632$ ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，下面说法正确的是（）
下面临界值表供参考

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.025

0.010

0.005

0.001

$k_{0}$

5.024

6.635

7.879

10.828

A、由于随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k > 10.828$ ，所以“吸烟与患肺癌有关系”，并且这个结论犯错误的概率不超过0.001 B、由于随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k > 10.828$ ，所以“吸烟与患肺癌有关系”，并且这个结论犯错误的概率不低于0.001 C、由于随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k > 10.828$ ，所以“吸烟与患肺癌没有关系”，并且这个结论犯错误的概率不超过0.001 D、由于随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k > 10.828$ ，所以“吸烟与患肺癌没有关系”，并且这个结论犯错误的概率不低于0.001

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两个焦点，点P在双曲线上且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，那么点P到x轴的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 已知点P是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ 上一点，M，N分别是圆 ${(x - 6)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x + 6)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的点，那么 $| P M | + | P N |$ 的最小值为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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二、填空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的离心率为.

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12. 过抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点F作倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l，l与抛物线C交于两个不同的点A，B，则 $| A B | =$ ．

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13. 某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为．（用数字作答）

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14. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数 $C_{n}^{r}$ 都换成 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}$ ，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果 $n \geq 2 (n \in N)$ ，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是．
①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；

② $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{1}} = \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{0}} \cdot \frac{1}{n C_{n - 1}^{0}}$ ；

③ $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}} = \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{n - r}} (r \in N ， 0 \leq r \leq n)$ ；

④ $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r - 1}} + \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}} = \frac{1}{n C_{n}^{r - 1}} (r \in N ， 1 \leq r \leq n)$ ．

第0行               $\frac{1}{1}$

第1行            $\frac{1}{2}$    $\frac{1}{2}$

第2行          $\frac{1}{3}$    $\frac{1}{6}$    $\frac{1}{3}$

第3行       $\frac{1}{4}$    $\frac{1}{12}$    $\frac{1}{12}$    $\frac{1}{4}$

……                  ……

第n行     $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{0}} \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{1}}$   …… $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{n}}$

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15. 已知随机变量X的概率分布如下：

X

0

2

3

6

P

0.1

0.3

$2 a$

a

那么 $a =$ ， $E X =$ ．

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16. 已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，那么 $a_{0} =$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} =$ ．（用数字作答）

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三、解答题

17. 某篮球运动员在训练过程中，每次从罚球线罚球的命中率是 $\frac{2}{3}$ ，且每次罚球的结果相互独立．已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球．

(1)、求他第1次罚球不中，后3次罚球都中的概率；

(2)、求他4次罚球恰好命中3次的概率．

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18. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点．

(1)、求椭圆C的焦点坐标和离心率；

(2)、过椭圆C的左顶点A作斜率为1的直线l，l与椭圆的另一个交点为B，求 $△ F_{1} F_{2} B$ 的面积．

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19. 某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级．已知甲同学能答对其中的5道题．

(1)、设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望；

(2)、求甲同学能晋级的概率．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1 ， 0)$ ，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点构成一个正三角形．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆C有且只有一个公共点A，与直线 $x + 4 = 0$ 交于点B．设AB中点为M，试比较 $| A M |$ 与 $| F M |$ 的大小，并说明理由．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879	10.828

X	0	2	3	6
P	0.1	0.3	$2 a$	a