四川省遂宁市蓬溪县2020届九年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 计算结果与4的相反数相同的是（）

A、－（－4） B、－（－2）² C、4^-1 D、|－4|

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2. 下列运算错误的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(m^{3})}^{4} = m^{7}$ C、 $（ 2 a^{2} b c ）^{3} = 8 a^{6} b^{3} c^{3}$ D、 $m^{6} \div m^{2} = m^{4}$

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3. 满足2（x－1）≤x＋2的正整数x有（　　）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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4. 为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图（如图所示）.那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（）

A、众数是9 B、中位数是9 C、平均数是9 D、锻炼时间不低于9小时的有14人

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5. 在函数y＝ $\sqrt{4 - x}$ ＋ $\frac{1}{x - 5}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、x≤4 B、x＝5 C、x＜4且x≠5 D、x≤4且x≠5

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6. 点（－2，4）关于原点对称的点的坐标是（）

A、（2，4） B、（－2，－4） C、（2，－4） D、（－4，2）

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7. 如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD=3，BC=9，则GO：BG=（）

A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、11：20

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8. 计算2cos60° -sin²45°+cot60°的结果是（）

A、 $\frac{1}{2} + 3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ D、 $1- \sqrt{3} + \sqrt{2}$

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9. 如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A、4－ $\frac{π}{9}$ B、4－ $\frac{8 π}{9}$ C、8－ $\frac{4 π}{9}$ D、8－ $\frac{8 π}{9}$

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10. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ，y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x₁和x₂ ，且x₁＜x₂ ，则x₁＜﹣1＜5＜x₂.其中正确的结论有（）.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 新冠肺炎病毒使社会经济形势突变，中国面临严峻的新挑战.在未来的两年，国家将投入4万亿元人民币，保持中国经济社会平稳的势头.将4万亿用科学记数法表示应为.

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12. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} =$ .

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13. 下列命题①不相交的直线是平行线；②矩形的对角线相等且互相平分；③同位角相等；④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤同圆中同弦所对的圆周角相等.其中正确的序号是.

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14. 如图：在⊙O中 $∠ A C B = ∠ B D C = 60^{°}$ ， $A C = \sqrt{3}$ 则⊙O的周长是.

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15. 已知： $C_{3}^{2} = \frac{3 \times 2}{1 \times 2} = 3$ ， $C_{5}^{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3} = 10$ ， $C_{6}^{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 15$ ，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算C₁₀⁶= ．

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三、解答题

16. 解方程： $x (2 x + 1) = 2 x + 1$

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17. 已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M.求证：AE=BF

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18. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2012^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + 3 \tan 30 °$

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19. 2020年是脱贫攻坚、全面建设小康社会关键年.为响应党的号召，蓬溪县中职校向一所希望小学赠送文具1080件，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.问B型包装箱每个可以装多少件文具？

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20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，－1），DE＝3．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式．

(2)、根据图象写出不等式kx＋b> $\frac{m}{x}$ 的解集．

(3)、连接OC、OD，求 $Δ C O D$ 的面积．

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21. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一，为此蓬溪县教体局教研室对我县部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣)，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次抽样调查中，共调查了名学生；

(2)、将图①补充完整；

(3)、求出图②中C级所占的圆心角的度数；

(4)、根据抽样调查的结果，请你估计我县初三6000名学生中有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B级)？

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22. 已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，经过E作EF⊥CE交CB的延长线于F.

(1)、求证：BC是⊙P的切线；

(2)、若CD=2，CB= $2 \sqrt{2}$ ，求EF的长；

(3)、若设k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

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23. 在云南大理坐落着美丽的大理三塔.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量三塔中一塔的高度，携带的测量工具有：测角仪.皮尺.小镜子.

(1)、小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶 $(M)$ 的仰角 $α = 35^{\circ}$ ，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶 $(M)$ 的仰角 $β = 45^{\circ}$ ，然后用皮尺量出A.B两点的距离为 $18.6$ m，自身的高度为 $1.6$ m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（ $\tan 35^{\circ} \approx 0.7$ ，结果保留整数）.

(2)、如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影 $N P$ 的长为 $a$ m（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，
请回答下列问题：

①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：；

②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？.

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24. 阅读下列材料：一般地， $n$ 个相同的因数 $a$ 相乘 $\frac{a \cdot a \dots a}{n 个}$ ，记为 $a^{n}$ .如 $2 \times 2 \times 2 = 2^{3} = 8$ ，此时， $3$ 叫做以 $2$ 为底 $8$ 的对数，记为 $\log_{2} 8$ （即 $\log_{2} 8 = 3$ ）.一般地，若 $a^{n} = b$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ ），则 $n$ 叫做以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记为 $\log_{a} b$ （即 $\log_{a} b = n$ ）.如 $3^{4} = 81$ ，则 $4$ 叫做以 $3$ 为底 $81$ 的对数，记为 $\log_{3} 81$ （即 $\log_{3} 81 = 4$ ）.

(1)、计算以下各对数的值： $\log_{2} 4 =$ ， $\log_{2} 16 =$ ， $\log_{2} 64 =$ .

(2)、观察（1）中三数 $4$ 、 $16$ ， $64$ 之间满足怎样的关系式， $\log_{2} 4$ 、 $\log_{2} 16$ 、 $\log_{2} 64$ 之间又满足怎样的关系式；

(3)、由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ $\log_{a} M + \log_{a} N =$ .（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0$ ）

(4)、根据幂的运算法则： $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ 以及对数的含义证明上述结论.

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25. 如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1，4)，且经过点N(2，3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

(2)、若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

(3)、直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点.是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.

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