河南省驻马店市平舆县2020届九年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各数中，其相反数最小的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、－2 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 2020年春季，一种新型冠状病毒嗜虐着人们的健康，据了解，这种新型冠状病毒的直径约为125纳米，若1米 $= 10^{9}$ 纳米，则这种冠病毒的直径用科学记数法可表示为（）

A、 $1.25 \times 10^{- 9}$ 米 B、 $1.25 \times 10^{7}$ 米 C、 $1.25 \times 10^{- 7}$ 米 D、 $1.25 \times 10^{9}$ 米

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3. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“河”字所在的面相对的面上标的字是（）

A、建 B、设 C、美 D、丽

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < 1 \\ x + 1 \geq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，设两枚骰子向上一面的点数之和为S，则下列事件属于随机事件的是（　　）

A、S＝6 B、S＞13 C、S＝1 D、S＞1

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6. 如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（　　）

A、15° B、25° C、35° D、65°

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $B C$ 边上的垂直平分线 $D E$ 分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点D、E，若 $Δ A E C$ 的周长是11，则 $A B =$ （）

A、28 B、18 C、10 D、7

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8. 如图，点 $M (m ， 3)$ 在直线 $y = - 2 x + 7$ 与直线 $y = - 2 x + 1$ 之间（不在这两条直线上），则m的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 2$ B、 $0 < m < 2$ C、 $- 5 < m < 1$ D、 $- 1 < m < 1$

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9. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k \neq 0)$ 第一象限内的图象经过 $Δ A B C$ 的顶点A，C， $A B = A C$ ，且 $B C ⊥ y$ 轴，点A，C，的横坐标分别为1，3，若 $∠ B A C = 120 °$ ，则k的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时 $F (n) = 3 n + 1$ ；②当n为偶数时， $F (n) = \frac{n}{2^{k}}$ （其中k是使 $F (n)$ 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取 $n = 24$ 时，其计算过程如上图所示，若 $n = 13$ ，则第2020次“F”运算的结果是（）

A、1 B、4 C、2020 D、 $2^{2020}$

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二、填空题

11. 化简： $\sqrt{12} - {(\sqrt{3} - 1)}^{0} =$ .

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12. 在学校的体育训练中，小杰同学投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数是 $m$ .

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13. 若关于x的方程x²﹣ax+a﹣1＝0有两个相等的实数根，则a的值是.

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 8$ ，对角线交于点O，M为 $B C$ 中点，以M为圆心， $M C$ 长为半径画弧交 $A B$ 于点E，连接 $O E$ ，则阴影部分面积为.

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15. 如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A₁CP，当△A₁CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，则∠ACP的度数为.

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三、解答题

16. 先化简 $(\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - a} + \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a}) \div (4 - \frac{10}{a + 1})$ ，然后再从－3、－2、－1、0、1中选出一个作为a的值，求代数式的值.

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17. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分

组别	A	B	C	D	E
正确字数 $x$	$0 \leq x < 8$	$8 \leq x < 16$	$16 \leq x < 24$	$24 \leq x < 32$	$32 \leq x < 40$
人数	10	15	25	m	n

根据以上信息解决下列问题：

(1)、在统计表中，

m =

，

n =

，并补全条形统计图.

(2)、扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是.

(3)、若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数

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18. 如图，以 $Δ A B C$ 的 $B C$ 边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与 $B C$ 边交于点E，D为 $B E$ 的下半圆弧的中点，连接 $A D$ 交 $B C$ 于F，若 $A C = F C$ .

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B F = 8$ ， $D F = 2 \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、过点B作 $⊙ O$ 的切线交 $C A$ 的延长线于G，如果连接 $A E$ ，将线段 $A C$ 以直线 $A E$ 为对称轴作对称线段 $A H$ ，点H正好落在 $⊙ O$ 上，连接 $B H$ ，请直接写出四边形 $A H B G$ 的形状.

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19. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图.小明同学为测量宣传牌的高度 $A B$ ，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为 $60^{\circ}$ ，同时测得教学楼窗户D处的仰角为 $30^{\circ}$ (A、B、D、E在同一直线上).然后，小明沿坡度 $i = 1 ： 1.5$ 的斜坡从C走到F处，此时 $D F$ 正好与地面 $C E$ 平行.

(1)、求点F到直线 $C E$ 的距离(结果保留根号)；

(2)、若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为 $45^{\circ}$ ，求宣传牌的高度 $A B$ (结果精确到0.1米， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ).

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20. 如图，直线l的解析式为y＝ $\frac{3}{4}$ x，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为6.

(1)、求k的值；

(2)、点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积.

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21. 小明与小红开展读书比赛.小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读.于是，两人开始了读书比赛.他们利用下表来记录了两人5天的读书进程.例如，第5天结束时，小明还领先小红24页，此时两人所读到位置的页码之和为424.已知两人各自每天所读页数相同.

读书天数	1	2	3	4	5
页码之差	72	60	48	36	24
页码之和	152	220			424

(1)、表中空白部分从左到右2个数据依次为，；

(2)、小明、小红每人每天各读多少页？

(3)、已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）

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22. 已知 $Δ A B C$ 是等边三角形， $A D ⊥ B C$ 于点D，点E是直线 $A D$ 上的动点，将 $B E$ 绕点B顺时针方向旋转60°得到 $B F$ ，连接 $E F$ ， $C F$ ， $A F$ .

(1)、问题发现：如图1，当点E在线段 $A D$ 上时，且 $∠ A F C = 35 °$ ，则 $∠ F A C$ 的度数是；

(2)、结论证明：如图2，当点E在线段 $A D$ 的延长线上时，请判断 $∠ A F C$ 和 $∠ F A C$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、拓展延伸：若点E在直线 $A D$ 上运动，若存在一个位置，使得 $Δ A C F$ 是等腰直角三角形，请直接写出此时 $∠ E B C$ 的度数.

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23. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 7 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M.

(1)、求抛物线的表达式和顶点M的坐标；

(2)、如图1，点 $E (x ， y)$ 为抛物线上一点，点E不与点M重合，当 $- 7 < x < - 2$ 时，过点E作 $EF / / x$ 轴，交抛物线的对称轴于点F，作 $EH ⊥ x$ 轴于点H，得到矩形 $EHDF$ ，求矩形 $EHDF$ 的周长的最大值；

(3)、如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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