安徽省宣城市八校2019-2020学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = \frac{1 + i}{1 + i^{3}}$ 对应的点的坐标是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(0, 1)$

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2. 设全集 $U = R$ ， $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | y = \ln (1 - x)}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $[1, 3)$ B、 $(1, 3]$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- 2, 1]$

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3. 执行如图所示的程序框图，若输入 $m = 6$ ，则输出k的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 2020年4月24日下午，随着最后1例新冠肺炎重症患者治愈，武汉重症病例实现了清零，抗疫工作取得了阶段性重大胜利．某方舱医院从出院的新冠肺炎患者中随机抽取100人，将这些患者的治疗时间（都在 $[5 ， 30]$ 天内）进行统计，制作出频率分布直方图如图所示，则估计该院新冠肺炎患者治疗时间的中位数是（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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5. 记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 3 x f^{'} (2) - 2 \ln x$ ，则 $f (1) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为F，且与直线 $l ： x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 交于P，Q两点，则 $△ P Q F$ 的周长为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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7. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x | + x^{2}}{x^{3} + \sin x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 学校艺术节对同一类的甲、乙、丙、丁四件参赛作品，只评一个一等奖，在评奖揭晓前， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四位同学对这四件参赛作品预测如下：
$A$ 说：“乙或丁作品获得一等奖”； $B$ 说：“丙作品获得一等奖”；

$C$ 说：“甲、丁两件作品未获得一等奖”； $D$ 说：“乙作品获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）

A、甲作品 B、乙作品 C、丙作品 D、丁作品

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9. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in [0, 1]$ ，使 $x_{0}^{2} - 1 > 0$ ”的否定为“ $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $x^{2} - 1 > 0$ ” B、命题“若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”及它的逆命题均为真命题 C、命题“在锐角 $△ A B C$ 中， $\sin A < \cos B$ ”为真命题 D、命题“若 $x = y$ ，则 $\sin x = \sin y$ ”的逆否命题为真命题

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\cos B = \frac{a}{2 c}$ ， $\sin B \sin C (2 - \cos A) = \sin^{2} \frac{A}{2} + \frac{1}{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点M在双曲线C的右支上，点N在线段 $F_{1} F_{2}$ 上（不与 $F_{1}, F_{2}$ 重合），且 $∠ F_{1} M N = ∠ F_{2} M N = 30^{°}$ ，若 $3 \vec{M N} - 2 \vec{M F_{2}} = \vec{M F_{1}}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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12. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a \ln x$ ，且 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，其中 $x_{1} \in (1 ， 2]$ ，则 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的最小值为（）

A、 $3 - 5 \ln 2$ B、 $3 - 4 \ln 2$ C、 $5 - 3 \ln 2$ D、 $5 - 5 \ln 2$

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二、填空题

13. 函数 $g (x) = | x - 2 | - 2 | x + 1 |$ 的最大值为．

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14. 若 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ ．

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15. 已知扇形的面积为 $5 \sqrt{6} π$ ，圆心角为 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ ，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为．

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16. 已知函数 $f (x) = 3^{2 x + 4} - \frac{1}{9^{x - 2}} + 4$ ，则 $f (2 x - 1) + f (x + 2) > 8$ 的解集为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{5}}{5} t \\ y = a + \frac{2 \sqrt{5}}{5} t \end{array}$ （ $a \in R$ ，t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ ．直线l与曲线C有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若 $a = 1, P (0, 1)$ ，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2}$ 的值．

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18. 2020年春节期间，因新冠肺炎疫情的影响，全国开启了“在家待着就是为国家做贡献”的模式，这种减少外出的居家隔离方式，既降低了自身的被感染风险、有效地节约了相对有限的医疗资源，更是对他人负责、减轻政府负担的有效之举，我们可以利用在家的这段时间观看电视了解疫情的动态、陪伴家人以及自我提高．某机构为了调查30～60岁的人在家看电视情况，他们随机抽取了某个社区的男女各50位市民，下面是根据调查结果绘制的市民日均看电视时间的频率分布表．

日均看电视时间（单位：小时）	$[0, 1)$	$[1, 2)$	$[2, 3)$	$[3, 4)$	$[4, 5)$	$[5, 6]$
频率	0.1	0.18	0.22	0.25	0.20	0.05

将日均看电视时间不低于4小时的市民称为“电视迷”，已知“电视迷”中有15名女性．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并据此资料判断是否有90%的把握认为“电视迷”与性别有关？

	非电视迷	电视迷	合计
男
女
合计

（Ⅱ）现从“电视迷”市民中按分层抽样的方法抽取5位市民，再从中随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2位女性市民的概率．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考数据：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

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19. 已知命题p：函数 $f (x) = \log_{3} x - a$ 在区间 $(\frac{1}{9} ， 9)$ 上没有零点；命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in [0 ， 2]$ ，使得 $x_{0}^{3} - 3 x_{0} + 5 - a < 0$ 成立．
（Ⅰ）若 $(\neg p) \lor (\neg q)$ 为假命题，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数a的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $n (S_{n + 1} - S_{n}) - n^{2} = (n + 1) a_{n} + n$ ．
（Ⅰ）求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{a_{n}}{n \cdot 2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = a \cos x - e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.7182818 \dots$ ），其导函数是 $f^{'} (x)$ ．
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点（ $0$ ， $f (0)$ ）处的切线方程为 $x + b y + 2 = 0$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

（Ⅱ）若函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上恰有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点．

(1)、若 $F (2, 0)$ ，直线l的斜率为2，求 $△ O M N$ 的面积；

(2)、设点P是线段 $M N$ 的中点（点P与点F不重合，点 $Q (x_{0}, 0)$ 是线段 $M N$ 的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究： $\frac{| P Q |^{2}}{| F Q |}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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