安徽省皖西南名校2019-2020学年高二下学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | \log_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | - 3 < x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 10 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $4 - 2 i$ B、 $4 + 2 i$ C、 $- 4 - 2 i$ D、 $- 4 + 2 i$

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3. ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数是（）

A、40 B、-40 C、80 D、-80

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4. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1), \vec{b} = (2, - 3)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{19}{4}$ B、 $\frac{19}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 某中学有高中生3600人，初中生2400人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则 $n =$ （）

A、48 B、72 C、60 D、120

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6. 已知 $\sin (θ - \frac{π}{3}) = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{2}{25}$ B、 $- \frac{23}{25}$ C、 $\frac{2}{25}$ D、 $\frac{23}{25}$

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7. 已知l，m，n为不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不同的平面，则下列判断错误的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$ ．则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α // β$ C、若 $α \cap β = l$ ， $β \cap γ = m$ ， $γ \cap α = n$ ， $l // γ$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // β$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若 $b c \cos A = \frac{8}{3} S_{△ A B C}$ ，则 $\frac{2 \cos^{2} \frac{B + C}{2} + \sin A - 1}{2 \sin A - \cos A} =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{a} x + a, x > 1, \\ (4 - a) x + 2, x ⩽ 1 \end{array}$ 是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $[2, 4)$ D、 $(1, 3]$

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10. 已知抛物线 $C : x = 4 y^{2}$ 的焦点为F，若斜率为 $\frac{1}{8}$ 的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段 $A B$ 的中点到准线的距离为（）

A、 $\frac{65}{8}$ B、 $\frac{65}{4}$ C、 $\frac{129}{16}$ D、 $\frac{129}{8}$

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11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）

A、41π B、 $\frac{41}{4} π$ C、25π D、 $\frac{25}{4} π$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x$ 的图象与直线 $k x - y - k π = 0 (k > 0)$ 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $\frac{\tan (x_{3} - x_{2})}{x_{1} + x_{2} + x_{3}}$ 属于（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， \frac{3}{2})$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 3 \tan (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象的对称中心是.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数．且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{3} (x + 1) + x^{2}$ ，则 $f (- 2) =$ ．

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15. 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形 $A_{1} A B$ 中， $\frac{A_{1} A}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，若在正五边形 $A B C D E$ 内任取一点，则该点取自正五边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1}$ 内的概率是.

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16. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l : y = 3 x + 6$ 过点 $F_{1}$ ，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，则双曲线C的离心率为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{4}{(a_{n} + 2) (a_{n + 1} + 2)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为

40 c m \times 60 c m \times 100 c m

，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据；

携带行李重量（kg）	$[0, 20]$	$(20, 30]$	$(30, 40]$	$(40, 50]$
头等舱乘客人数	8	33	12	2
经济舱乘客人数	37	5	3	0
合计	45	38	15	2

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考数据

$P (K \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

(1)、请完成答题卡上的

2 \times 2

列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？

(2)、调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出10kg的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为

X

元，求

X

的分布列与数学期望．

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19. 图1是由平行四边形ABCD和 $Rt △ A B E$ 组成的一个平面图形．其中 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B ⊥ A E$ ， $A D = A E = 2 A B = 2$ ，将 $△ A B E$ 沿AB折起到 $△ A B P$ 的位置，使得 $P C = \sqrt{11}$ ，如图2．

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、求二面角 $A - P D - B$ 的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + m x + 3 ，$ 在 $x = 0$ 处取得极值．

(1)、求m的值；

(2)、若过 $(2 ， t)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求t的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 到直线 $l : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．

(1)、求椭圆C标准的方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线m交椭圆C于P，Q两点，Q为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ 有两个零点．

(1)、求a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $f^{'} (x_{1} \cdot x_{2}) < 1 - a$ ．

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