安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = 1 + i (i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x_{1}) < f^{'} (x_{2})$ ，则 $x_{1} ， x_{2}$ 的大小关系不可能为（）

A、 $0 < x_{1} < x_{2}$ B、 $0 < x_{2} < x_{1}$ C、 $x_{1} < 0 < x_{2}$ D、 $x_{2} < 0 < x_{1}$

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3. 下列说法正确的是（）
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精度越高；②在独立性检验时，两个变量的 $2 \times 2$ 列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大；③在回归直线方程 $\hat{y} = 0.2 x + 12$ 中，当解释变量 $x$ 每增加一个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 就增加0.2个单位；④ $R^{2}$ 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.

A、①②③ B、②③ C、①④ D、①③④

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4. 利用反证法证明命题“若 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 0$ ，则 $x = y = 0$ ”，以下假设正确的是（）

A、 $x$ 、 $y$ 都不为0 B、 $x$ 、 $y$ 不都为0 C、 $x$ 、 $y$ 都不为0，且 $x \neq y$ D、 $x$ 、 $y$ 至少有一个为0

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5. 正弦函数 $y = \sin x$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的图像与 $x$ 轴所围成曲边梯形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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6. 袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 若 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（）

A、360 B、180 C、90 D、45

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8. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）

A、30 B、36 C、60 D、72

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9. 求 $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}$ 的值时，可采用如下方法：令 $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}} = x$ ，则 $x = \sqrt{1 + x}$ ，两边同时平方，得 $x^{2} = 1 + x$ ，解得 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ （负值舍去），类比以上方法，可求得 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

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10. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，50²)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p₀.则p₀的值为（）．
(参考数据：若X～N(μ，σ²)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.

A、0.954 4 B、0.682 6 C、0.997 4 D、0.977 2

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11. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且对任意的实数 $x$ 都有 $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 3) + f (x)$ ， $f (0) = 1$ ，则不等式 $f (x) < 5 e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (4 ， + \infty)$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{n}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} > 0$ ，则当 $n \geq 2$ 时，下列判断一定正确的是（）

A、 $a_{n} < n + 1$ B、 $a_{n + 2} - a_{n + 1} < a_{n + 1} - a_{n}$ C、 $a_{n} \geq n$ D、 $a_{n} \geq n + 1$

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二、填空题

13. 某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 $\frac{5}{6}$ ，则在这段时间内吊灯能照明的概率是．

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14. 已知随机变量 $X ~ B (6 ， 0.4)$ ，则当 $η = - 2 X + 1$ 时， $D (η)$ = ．

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15. 已知关于某设备的使用年限 $x$ （单位：年）和所支出的维修费用 $y$ （单位：万元）有如下的统计资料：

$x$

2

3

4

5

6

$y$

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

由上表可得线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.08$ ，若规定当维修费用 $y > 12$ 时，该设备必须报废，据此模型预报该设备最多可使用年（取整数）.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{3} - 3 x^{2} + m ， 0 \leq x \leq 1 \\ - 2 m x + 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有且只有两个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：① $\sqrt{1} + \sqrt{3} < 2 \sqrt{2}$ ；② $\sqrt{2} + \sqrt{4} < 2 \sqrt{3}$ ；③ $\sqrt{3} + \sqrt{5} < 2 \sqrt{4}$ .

(1)、已知 $\sqrt{2}$ ∈(1.41，1.42)， $\sqrt{3}$ ∈(1.73，1.74)， $\sqrt{5}$ ∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)；

(2)、请将此规律推广至一般情形，并加以证明.

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18. 某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：

学习活跃的员工人数

学习不活跃的员工人数

甲

18

12

乙

32

8

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据： $P (K^{2} \geq 0.1) = 2.706$ ， $P (K^{2} \geq 0.05) = 3.841$ ， $P (K^{2} \geq 0.01) = 6.635$ .

(1)、根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；

(2)、活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 3 x$ 在 $x = \pm 1$ 处取得极值.

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值以及函数 $f (x)$ 的极大值和极小值；

(2)、过点 $A (0 ， 16)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，求此切线的方程.

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20. $i$ 为虚数单位， $z = a + b i (a ， b \in R)$ 是虚数， $ω = z + \frac{1}{z}$ 是实数，且 $- 1 < ω < 2$ ， $u = \frac{1 - z}{1 + z}$ .

(1)、求 $| z |$ 及 $a$ 的取值范围；

(2)、求 $ω - u^{2}$ 的最小值.

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21. 2019年10月，工信部颁发了国内首个

5 G

无线电通信设备进网许可证，标志着

5 G

基站设备将正式接入公用电信商用网络.某

4 G

手机生产商拟升级设备生产

5 G

手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进

5 G

手机生产设备；方案2：对已有的

4 G

手机生产设备进行技术改造，升级到

5 G

手机生产设备.该生产商对未来

5 G

手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：

市场销售状态		畅销	平销	滞销
市场销售状态概率		$2 p$	$1 - 3 p$	$p$
预期年利润数值（单位：亿元）	方案1	70	40	-40
预期年利润数值（单位：亿元）	方案2	60	30	-10

(1)、以预期年利润的期望值为依据，求

p

的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？

(2)、设该生产商升级设备后生产的

5 G

手机年产量为

x

万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的

5 G

手机年度总成本

y_{1} = 0.0002 x^{2} + 0.2 x + 50

（亿元），选择方案2所生产的

5 G

手机年度总成为

y_{2} = 0.0001 x^{2} + 0.1 x + 60

（亿元）.已知

p = 0.2

，当所生产的

5 G

手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，

0.8 - 0.001 x

（万元），

0.8 - 0.002 x

（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的

5 G

手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 4 a^{2} \ln x$ ，其中 $a \in R$
（Ⅰ）若 $a \neq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $a = 0$ ，当 $x \geq 1$ 时， $x \ln x - m [f (x) - 1] \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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	学习活跃的员工人数	学习不活跃的员工人数
甲	18	12
乙	32	8

$x$	2	3	4	5	6
$y$	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0