安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则A∩ $($ ∁_UB $)$ ＝（）

A、{1，4} B、{1，4，5} C、{4，5} D、{6，7}

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2. 若复数z满足 $(- 1 - z) \cdot i = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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3. 设奇函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上是减函数，且 $f (3) = - 3$ ，若不等式 $f (x) < 2 t + 1$ 对所有的 $x \in [- 3, 3]$ 都成立，则t的取值范围是（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$

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4. 二项式 ${(1 - x)}^{2020}$ 展开式中的第2020项是（）

A、1 B、 $2020 x^{2019}$ C、 $- 2020 x^{2019}$ D、 $x^{2020}$

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5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦点，点P为双曲线C的右顶点，如果 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线C离心率是（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{5}{3}$

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7. 函数y= $\frac{x^{2} \ln | x |}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设命题p：关于x的不等式 $x^{2} + 2 a x + 3 > 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，命题q：对数函数 $y = \log_{(4 - 3 a)} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，那么p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）

A、30种 B、50种 C、60种 D、90种

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10. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）

A、21π B、15π C、 $\frac{21}{2} π$ D、 $\frac{15}{2} π$

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11. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边长分别是 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (a + b, \sin C)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} a + c, \sin B - \sin A)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，E为线段 $A D$ 上的动点，且 $\vec{C E} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值为（）

A、16 B、15 C、12 D、10

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13. 已知 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作直线 $M N$ 与 $A B$ ， $A C$ 交于点 $M ， N$ ，且 $\overset{⇀}{A M} = x \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = y \overset{⇀}{A C}$ ， $(x ， y > 0)$ ，则 $3 x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} \sqrt{3}$

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二、填空题

14. 某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人､女员工40人，第2个部门男员工150人､女员工200人，第3个部门男员工240人､女员工160人.若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为.

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15. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2$ , $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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16. $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $P$ 在抛物线上， $Q$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上的点，则 $| P Q | + | P F |$ 最小值是．

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17. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q \in (0, 1)$ .若 $a_{3} + a_{5} = 5$ ， $a_{2} a_{6} = 4$ ， $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则当 $\frac{S_{1}}{1} + \frac{S_{2}}{2} + \dots + \frac{S_{n}}{n}$ 取最大值时n的值为.

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18. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q \in (0, 1)$ ，若 $a_{3} + a_{5} = 5$ ， $a_{2} a_{6} = 4$ ， $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则数列 ${\frac{| S_{n} |}{n}}$ 的前n项的和 $T_{n}$ 为.

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三、解答题

19. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到数据如下：

零件的个数x(个)

2

3

4

5

加工的时间y(小时)

2.5

3

4

4.5

（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图（请在答题卡上作图！）；

（Ⅱ）求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？

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20. 已知函数 $f (x) = 1 - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、若 $x_{0}$ ( $0 \leq x_{0} \leq \frac{π}{2}$ )为 $f (x)$ 的一个零点，求 $\sin 2 x_{0}$ 的值.

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21. 若数列 ${a_{n}}$ 是正项数列，且 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{n}} = n^{2} + n$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{4} \sqrt{a_{n} a_{2^{n}}},$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} .$

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22. 如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ∥ A E ， A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B ， A B = A D = 1 ， A E = B C = 2$ .

（Ⅰ）求证： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ；

（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - B D - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长.

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23. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2} ， a + b = 3$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．

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24. 已知函数 $f (x) = 3 e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的最大值.

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25. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \sqrt{2 x + 1}$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）求证： $f (x) \geq - \frac{x^{2}}{2} - 1$ ．

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零件的个数x(个)	2	3	4	5
加工的时间y(小时)	2.5	3	4	4.5