安徽省高中教科研联盟2019-2020学年高二下学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{z - i} = i$ ，则 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设 $U = R$ ， $A = {x | 2^{x} < 1}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 0}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) = ($ $)$

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

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3. 设向量 $\vec{a} = (\sin 2 θ, \cos θ)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ，则“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”是“ $\tan θ = \frac{1}{2}$ ”成立的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量 $x$ (单位：吨）与相应的生产能耗 $y$ （单位：吨）的几组对应数据：

x

3

4

5

6

y

2.5

t

4

4.5

根据上表提供的数据，求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，那么表格中 $t$ 的值为（）

A、3 B、3.15 C、3.25 D、3.5

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5. 我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦、莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，间浦的长度是（）

A、4尺 B、5尺 C、3尺 D、6尺

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6. 已知函数 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，CD为边AB的高，点P在射线CD上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C P}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{16}$ C、 $- \frac{3}{16}$ D、0

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9. 已知点M是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 上一动点，则 $| M A | + | M F |$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为1，E为CD的中点．动点M在该棱锥的表面运动，满足 $E M ⊥ B D$ ．则动点M的轨迹的周长是（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为 $θ$ ，若 $θ$ 的取值范围是 $[\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2}, 2]$ C、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \sqrt{2}]$ D、 $[2, + \infty)$

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12. 定义在R上的函数 $f (x)$ 同时满足：①对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) = f (x - 1)$ ；②当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ．若函数 $h (x) = f (x) - \log_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）恰有3个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $(3 ， 4]$

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二、填空题

13. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）

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14. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 ${a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

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15. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点在球O的球面上， $A B = A C = A D$ ， $△ B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正三角形， $M$ 、 $N$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 中点，且 $M D ⊥ M N$ ，则球O的表面积为．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x + \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ， $a_{1} = 1$ 且 $2 (a_{n} + a_{n + 2}) = 5 a_{n + 1}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${(2 n - 1) \cdot a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. $△ A B C$ 中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h，已知 $c (\sin B - \cos B) = b \cos C$ ．

(1)、求 $\frac{h}{a}$ 的值；

(2)、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形， $A B / / D C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A D = A B = 1$ ， $△ C D E$ 是边长为2的正三角形， $B E = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ D E$ ；

(2)、求二面角A-ED-C的正弦值．

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20. 2020年春节期间，湖北武汉爆发了新型冠状病毒肺炎，国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩，一时间各种品牌的口罩蜂拥而出，为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标．

指标质量

$[0, 10)$

$[10,20)$

$[20, 30)$

$[30,40)$

$[40,50]$

频数

10

20

30

25

15

附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为： $σ = \sqrt{142.75} \approx 11.95$ ；

②若 $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

(1)、求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、①已知口罩的质量指标值 $Z$ 服从正态分布，利用该正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，求Z落在 $(26.5, 50.4)$ 内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于 $(30, 50)$ 内的包数为X，求X的分布列和方差．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 一个焦点和抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，且过点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ ，椭圆E的长轴的两端点为A、B．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线 $x = 4$ 与直线PA，PB分别交于M，N两点以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x + m (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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指标质量	$[0, 10)$	$[10,20)$	$[20, 30)$	$[30,40)$	$[40,50]$
频数	10	20	30	25	15

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5