安徽省滁州市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ， $C = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

A、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{1}{5})$ B、 $(- \frac{3}{5} ， - \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{3}{5} ， \frac{1}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{1}{5})$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} + a_{5} = 8$ ，则 $a_{2} + a_{3} + a_{7} =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (k ， 3)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135^{°}$ ，则 $k =$ （）

A、-9 B、1 C、-9或1 D、-1或9

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5. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 $\frac{9}{30}$ ，下雨的概率为 $\frac{11}{30}$ ，既吹东风又下雨的概率为 $\frac{8}{30}$ ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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6. 电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到 $6$ 组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ， $(x_{4}, y_{4})$ ， $(x_{5}, y_{5})$ ， $(x_{6}, y_{6})$ .根据收集到的数据可知 $\bar{x} = 10$ ，由最小二乘法求得回归直线方程为 $\hat{y} = 1.3 x + 5.2$ ，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{5} + y_{6} =$ （）

A、50.5 B、45.5 C、100.2 D、109.2

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7. 已知 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.4] = 0$ ， $[1] = 1$ ， $[- 2.4] = - 3$ .执行如图所示的程序框图，则输出的 $S =$ （）

A、1 B、5 C、14 D、15

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8. 某景区原来在一段栈道上安排了10名安全员，后由于人员紧张，需撤掉3人，但出于安全考虑，首尾两个不能撤，撤掉的3人中任意两个不能相邻，则不同的撤法的种数为（）

A、120 B、56 C、35 D、20

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9. 已知二项式 ${(a x + \frac{\sqrt{5}}{8})}^{8}$ 的展开式的第二项的系数为 $- \sqrt{5}$ ，则 $\int_{- 3}^{a} 3 x^{3} d x =$ （）

A、-60 B、 $\frac{7}{3}$ C、-60或 $\frac{7}{3}$ D、30或 $- \frac{10}{3}$

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10. 将函数 $f (x) = 2 \sin (3 x + φ)$ ( $0 < φ < π$ )图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后，得到函数的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上的值域是（）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $[- \sqrt{3} ， 2]$ C、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ D、 $[- \sqrt{2} ， 2]$

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11. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线C的左支于M，N两点若 $| M F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $2 | M F_{1} | = | N F_{1} |$ ，则双曲线C的离心率是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = a (e^{2} x - 2 \ln x) (a > 0)$ ， $D = [\frac{1}{e} ， 1]$ 若所有点 $(s ， f (t))$ (s， $t \in D$ )所构成的平面区域面积为 $e^{2} - 1$ ，则 $a =$ （）

A、e B、 $\frac{1}{e - 2}$ C、1 D、 $\frac{e}{e - 2}$

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二、填空题

13. 曲线 $y = 2 x^{3} + \ln x$ 在点 $(1 ， 2)$ 处的切线的斜率为.

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14. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\log_{2} 3^{x} + \log_{2} 9^{y} = \log_{4} 81$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{3 y}$ 的最小值为．

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15. 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为.

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16. 已知 F为抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 的焦点，P为C上一点， $M (- 4 ， 3)$ ，则当 $△ P M F$ 周长最小时点P的坐标.

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $2 a \sin C = \sqrt{3} c \sin B$ ．

(1)、若b＝ $4 \sqrt{3}$ ，C＝120°，求△ABC的面积S

(2)、若b：c＝2：3，求 $\frac{\sqrt{3} \sin 2 A - \sin B}{\sin C}$

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18. 某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中对该事件关注的女性占

\frac{2}{3}

，而男性有10人表示对该事件没有关注.

	关注	没关注	合计
男			55
女
合计

附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、根据以上数据补全

2 \times 2

列联表；

(2)、能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？

(3)、已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率.

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19. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $B C / / A D$ ，已知 $A C ⊥ E C$ ， $A B = A F = B C = 2$ ， $A D = D E = 4$ ，四边形 $A D E F$ 为直角梯形， $A F / / D E$ ， $∠ D A F = 90 °$ .

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $E A C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（点 $P$ ， $Q$ 均在第一象限）， $O$ 为坐标原点，证明：直线 $O P$ ， $P Q$ ， $O Q$ 的斜率依次成等比数列．

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21. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万
元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6 折，若摇出2个幸运号则打7 折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.

(1)、若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；

(2)、若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x} - 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > 0$ ，证明 $\frac{\ln (x + 1)}{x} > f (x)$ .

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