安徽省池州市2019-2020学年高二下学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，且复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 - 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数（）

A、 $- 3 + i$ B、 $- 3 - i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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2. 某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数 $r = 0.862$ ，则下列判断正确的是（）

A、商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系 B、商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系 C、商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系 D、商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系

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3. 2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下 $2 \times 2$ 列联表，经计算 $K^{2} \approx 3.030$ ，则下列结论正确的是（）

关注《民法典》

不关注《民法典》

男

45

10

女

30

15

附：

$P (K^{2} ⩾ k)$

0.10

0.050

0.010

0.001

$k$

2.706

3.814

6.635

10.828

A、有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关 B、有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关 C、在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关 D、在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关

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4. ${(\frac{1}{2} + 2 x)}^{8}$ 的展开式中二项式系数最大的项是（）

A、 $35 x^{2}$ B、 $20 x^{2}$ C、 $70 x^{4}$ D、 $35 x^{4}$

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5. 安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都.某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街”、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（）

A、10 B、16 C、24 D、32

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6. 一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（）

A、 $\frac{1}{13}$ B、 $\frac{1}{17}$ C、 $\frac{4}{17}$ D、 $\frac{1}{221}$

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7. 凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（）

A、44 B、54 C、65 D、77

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8. 同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A ， B ， C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）

A、288 B、144 C、96 D、72

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9. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，其中e为自然对数的底数，导函数 $f^{'} (x)$ ，设 $\frac{f (e) - f (2)}{e - 2} = m$ ，则下列判断正确的是（）

A、曲线在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ ，且 $m < f^{'} (2) < f^{'} (e)$ B、曲线在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ ，且 $f^{'} (2) < m < f^{'} (e)$ C、曲线在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ，且 $f^{'} (e) < f^{'} (2) < m$ D、曲线在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ，且 $f^{'} (2) < f^{'} (e) < m$

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10. 一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）

A、1:1 B、2:1 C、3:1 D、4:1

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11. 2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按 $[30 ， 40)$ 、 $[40 ， 50)$ 、 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $[70 ， 80]$ 分组，得到的频率分布直方图如图所示.现从年龄在 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在 $[50 ， 60)$ 的人数，则 $P (X = 3) =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{21}$

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12. 已知不等式 $a x^{2} e^{3 x} - 2 \ln x - 3 x ⩾ 1$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[e ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， e]$

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二、填空题

13. $a \in R$ ，且 $0 < a < 1$ ，复数 $z = \sqrt{1 - a} + \sqrt{a} i$ 在复平面上对应的点 $P (x, y)$ ，复平面上的动点 $P$ 的集合所对应区域的面积为.

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14. 某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩 $ξ$ 服从正态分布 $N (60, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (ξ > 80) = 0.2$ ，则 $P (60 \leq ξ \leq 80) =$ .

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15. 设 $m = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ ，其中e为自然对数的底数，若 ${(m - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{4} =$ .

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16. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对于任意 $x > 0$ 都有 $f^{'} (x) < \frac{3}{x} f (x)$ ，且 $f (4) = 4$ ，则不等式 $f (x) - \frac{1}{16} x^{3} < 0$ 的解集为.

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三、解答题

17. 某县教研室联合本县

A

，

B

两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面

2 \times 2

列联表：

	优秀	非优秀	合计
$A$ 学校	48	12	60
$B$ 学校	16	24	40
合计	64	36	100

附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.050	0.025	0.010	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)、估计

A

校学生数学成绩为优秀的概率；

(2)、能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - a x + 5$ ，其中a为常数.

(1)、当 $a = 5$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围.

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19. 某湿地公园占地约44万 $m^{2}$ ，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身.当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队.组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x表示跑步队成立的天数，y表示当天跑步队的人数，给出部分数据如下表所示：

第x（天）

1

4

9

16

25

y（人）

40

80

120

140

160

经研究发现，可以用 $y = c + d \sqrt{x}$ 作为y关于x的回归方程类型.

参考数据：

$\bar{y}$

$\bar{x}$

$\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i}$

$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$

$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2}$

108

11

1920

7680

979

55

其中 $\bar{x} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} y_{i}$ ， $t_{i} = \sqrt{x_{i}}$ ， $\bar{t} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} t_{i}$ .

参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}), \dots, (u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{a} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据表中的数据，建立y关于x的回归方程；

(2)、请预测第36天跑步队的人数.

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20. 某企业生产的某种产品尺寸在

[72.8, 97.2)

（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元，现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：

分组	$[67.5, 72.5)$	$[72.5, 77.5)$	$[77.5, 82.5)$	$[82.5, 87.5)$	$[87.5, 92.5)$	$[92.5, 97.5)$	$[97.5, 102.5)$
频数	2	9	22	33	24	8	2

参考数据： $\sqrt{37.5} \approx 6.1$ ，若随机变量 $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z ⩽ μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z ⩽ μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z ⩽ μ + 3 σ) = 0.9973$ .

(1)、已算出这100件产品的尺寸的平均数为

\bar{x} = 85

，求这100件产品的尺寸的方差

s^{2}

；

(2)、若该产品的尺寸服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，其中

μ

近似为样本平均数

\bar{x}

，

σ^{2}

近似为样本方差

s^{2}

①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；

②设该企业每生产一件该产品的利润为X ，求X的分布列.

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x + (1 - m) x + m$ ，其中 $m \in Z$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若对任意 $x > 1$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求m的最大值.

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22. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现A ， B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，假设每场比赛的结果相互独立.

(1)、当 $p = \frac{1}{3}$ 时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；

(2)、若B方在每一场获胜的概率为q ，设比赛场数为 $ξ$ .
（i）试求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ；（用P ， q表示）

（ⅱ）求 $E (ξ)$ 的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.

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$P (K^{2} ⩾ k)$	0.10	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.814	6.635	10.828

$\bar{y}$	$\bar{x}$	$\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2}$
108	11	1920	7680	979	55

	关注《民法典》	不关注《民法典》
男	45	10
女	30	15

第x（天）	1	4	9	16	25
y（人）	40	80	120	140	160