河南省名校2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，绝对值最小的数是（）

A、 $- 5$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 将867000用科学记数法表示为（）

A、 $867 \times 10^{3}$ B、 $8.67 \times 10^{4}$ C、 $8.67 \times 10^{5}$ D、 $8.67 \times 10^{6}$

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3. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：

一分钟跳绳个数（个）

141

144

145

146

学生人数（名）

5

2

1

2

则关于这组数据的结论正确的是（）

A、平均数是144 B、众数是141 C、中位数是144.5 D、方差是5.4

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4. 函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则 $y = k x - b$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）

A、35° B、45° C、55° D、65°

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7. 方程2x²﹣8x﹣1＝0的解的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数根 D、有一个实数根

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8. 近年来，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2017年我国快递业务量为400亿件，2019年快递量将达到600亿件，设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中正确的是（）

A、400（1+x）＝600 B、400（1+2x）＝600 C、400（1+x）²＝600 D、600（1﹣x）²＝400

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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且 $M N$ 恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）

A、 $∠ A B C = 60 °$ B、 $S_{△ A B E} = 2 S_{Δ A D E}$ C、若AB=4，则 $B E = 4 \sqrt{7}$ D、 $\sin ∠ C B E = \frac{\sqrt{21}}{14}$

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二、填空题

11. 计算： $2^{- 1} + {(- \sqrt{3})}^{0} =$ .

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12. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 2}{4} < \frac{x - 1}{3} \\ 2 x - m \leq 2 - x \end{array}$ 有且只有三个整数解，则m的取值范围是．

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13. 从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任国旗队升旗手，则抽取的2名学生恰好是乙和丙的概率是．

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14. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A、B的对应点分别为A₁、B₁ ，当点A₁恰好落在AB上时，弧BB₁与点A₁构成的阴影部分的面积为.

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15. 正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $M, N$ 在对角线 $A C$ 上（可与点 $A, C$ 重合）， $M N = 2$ ，点 $P, Q$ 在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形 $P M Q N$ 是平行四边形；

②存在无数个四边形 $P M Q N$ 是菱形；

③存在无数个四边形 $P M Q N$ 是矩形；

④至少存在一个四边形 $P M Q N$ 是正方形．

所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(- 4)}^{2} \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - (- 4 + 1)$

(2)、下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$     第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$            第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$         第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$           第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)}$             第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6}$                  第六步

任务一：填空：①以上化简步骤中，第_▲_步是进行分式的通分，通分的依据是__▲__或填为__▲   ；

②第_▲__步开始出现错误，这一步错误的原因是__▲__；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

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17. 为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下收集、整理数据:
表一：

分数段

班级

$60 \leq x < 70$

$70 \leq x < 80$

$80 \leq x < 90$

$90 \leq x < 100$

八年级1班

7

5

10

3

表二：

统计量

班级

平均数

中位数

众数

极差

方差

八年级1班

78

85

36

105.28

小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，变数据如下：

统计量

班级

平均数

中位数

众数

极差

方差

八年级2班

75

76

73

44

146.8

根据以上信息，解决下列问题:

(1)、已知八年级1班学生的成绩处在 $80 \leq x < 90$ 这一组的数据如下: $85, 87, 88, 80, 82, 85, 83, 85, 87, 85$ .根据上述数据，将表二补充完整:

(2)、你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由

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18. 如图，某人在山坡坡脚 $C$ 处测得一座建筑物顶点 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，沿山坡向上走到 $P$ 处再测得该建筑物顶点 $A$ 的仰角为 $45 °$ .已知 $B C = 80$ 米， $A P$ ， $B C$ 的延长线交于点 $D$ ，山坡坡度为 $\frac{1}{3}$ （即 $\tan ∠ P C D = \frac{1}{3}$ ）.注：取 $\sqrt{3}$ 为 $1.7$ .

(1)、求该建筑物的高度（即 $A B$ 的长）.

(2)、求此人所在位置点 $P$ 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计）.

(3)、若某一时刻， $1$ 米长木棒竖放时，在太阳光线下的水平影长是 $1.5$ 米，则同一时刻该座建筑物顶点 $A$ 投影与山坡上点 $M$ 重合，求点 $M$ 到该座建筑物的水平距离.

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19. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

已知：如图1， $⊙ O$ 及 $⊙ O$ 上一点P.

求作：直线PQ，使得PQ与 $⊙ O$ 相切.

作法：如图2，

①连接PO并延长交 $⊙ O$ 于点A；

②在 $⊙ O$ 上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作 $⊙ B$ ，与射线PO的另一个交点为C.

③连接CB并延长交 $⊙ B$ 于点Q.

④作直线PQ；

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图的过程.

(1)、使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明.
证明：∵CQ是的 $⊙ B$ 直径，

∴ $∠ C P Q =$ __▲__ $^{°}$ （__▲__）（填推理的依据）

∴ $O P ⊥ P Q$ .

又∵OP是 $⊙ O$ 的半径，

∴PQ是 $⊙ O$ 的切线（_▲_）（填推理的依据）

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20. 在△ABC中.BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．

(1)、y关于x的函数关系式是， x的取值范围是；

(2)、在平面直角坐标系中画出该函数图象；

(3)、将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

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21. 在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售800只A型和450只B型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元.

(1)、求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；

(2)、该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式；

②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？

(3)、在销售时，该药店开始时将B型口罩提价100%，当收回成本后，为了让利给消费者，决定把B型口罩的售价调整为进价的15%，求B型口罩降价的幅度.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，关于x的二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时，y的最大值与最小值的差；

(3)、一次函数 $y = (2 - m) x + 2 - m$ 的图象与二次函数 $y = x^{2} + p x + q$ 的图象交点的横坐标分别是a和b，且 $a < 3 < b$ ，求m的取值范围．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转 $α$ 得到线段DP，连结AP，CD，BD.

(1)、观察猜想：如图1，当 $α = 60 °$ 时，线段CP绕点P顺时针旋转 $α$ 得到线段DP，则 $\frac{B D}{A P}$ 的值是，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是；

(2)、类比探究：如图2，当 $α = 90 °$ 时，线段CP绕点P顺时针旋转 $α$ 得到线段 $D P ．$ 请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明 $△ B C D$ 与 $△ A C P$ 相似，求出 $\frac{B D}{A P}$ 的值；

(3)、拓展延伸：当 $α = 90 °$ 时，且点P到点C的距离为 $\frac{1}{3} A C$ ，线段CP绕点P逆时针旋转 $α$ 得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求 $\frac{B D}{A P}$ 的值.

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一分钟跳绳个数（个）	141	144	145	146
学生人数（名）	5	2	1	2