重庆市梁平区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 要使 $\sqrt{2 x + 5}$ 有意义， $x$ 必须满足（）

A、 $x \geq - \frac{5}{2}$ B、 $x \leq - \frac{5}{2}$ C、 $x$ 为任何实数 D、 $x$ 为非负数

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2. 方程 $x^{2} = x$ 的解是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 0$

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3. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）

A、1：2 B、2：1 C、1：4 D、4：1

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4. 若在“正三角形、平行四边形、圆、正六边形”这四种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $1$

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5. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $\cos A = \frac{5}{13}$ ， $B C = 12 cm$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、 $3 cm$ B、 $4 cm$ C、 $5 cm$ D、 $6 cm$

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6. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（）

A、 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ 化为 ${(x + 4)}^{2} = 25$ B、 $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - 2)}^{2} = 6$ C、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$ D、 $x^{2} + 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x + 1)}^{2} = 100$

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7. 估计 $(2 \sqrt{12} - \sqrt{2}) \times \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　）

A、2和3 B、3和4 C、4和5 D、5和6

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8. 平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第8个图案中，小菱形的个数是（）

A、 $98$ 个 B、 $128$ 个 C、 $130$ 个 D、 $162$ 个

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9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - \frac{1}{8}$ B、 $a \geq - \frac{1}{8}$ C、 $a > - \frac{1}{8}$ 且 $a \neq 1$ D、 $a \geq - \frac{1}{8}$ 且 $a \neq 1$

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，下列结论中错误的是（）

A、AC²=AD⋅AB B、CD²=CA⋅CB C、CD²=AD⋅DB D、BC²=BD⋅BA

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11. 如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度 $A D$ ，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为 $∠ E A B = 60 °$ 和 $∠ E A C = 30 °$ ，且D，B，C在同一水平线上，已知桥 $B C = 30$ 米，则无人机的飞行高度 $A D =$ （）

A、15米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 米 D、 $(15 \sqrt{3} + 15)$ 米

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12. 从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，既要使关于x一元二次方程ax²+（2a﹣4）x+a﹣8＝0有实数解，又要使关于x的分式方程 $\frac{x + a}{x - 1} + \frac{2 a}{1 - x}$ ＝3有正数解，则符合条件的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、填空题

13. 假期，爸爸带小明去A地旅游.小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为km.

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14. 比较大小:2sin60°+tan45° 4cos60° (用“>”或“=”或“<”连接).

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，若 $\frac{E C}{A B}$ ＝ $\frac{1}{3}$ ，AD＝4厘米，则CF＝厘米.

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16. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 2019 x - 2020 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为.

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17. 关于x的方程 $a （ x+m ）^{2} +b= 0$ 的解是x₁=－2，x₂=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程 $a （ x+m+ 2 ）^{2} +b= 0$ 的解是.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，D、E分别是 $A B$ 、 $O A$ 的中点.过点D的双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 与 $B C$ 交于点G.连结 $D C$ ，点F在 $D C$ 上，且 $D F ： F C = 3 ： 1$ ，连结 $D E$ 、 $E F$ .若 $△ D E F$ 的面积为 $6$ ，则k的值为.

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三、解答题

19. 解答下列各题：

(1)、计算 $\frac{1}{2} \sqrt{32} - (\sqrt{2} - \sqrt{18}) \times \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、解方程： ${(2 x + 1)}^{2} = 3 (2 x + 1)$

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20. 先化简，再求值：

(1)、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + a b} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ ，其中 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ；

(2)、 $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 的值从不等式组 ${\begin{array}{l} - x \leq 1 \\ 2 x - 1 < 5 \end{array}$ 的整数解中选取.

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21. 针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命.远离病毒”知识竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）.除了60到70之间学生成绩尚未统计，还有6名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99.

类别	分数段	频数（人数）
A	60≤x＜70	a
B	70≤x＜80	16
C	80≤x＜90	24
D	90≤x＜100	b

根据情况画出的扇形图如下：请解答下列问题：

(1)、完成频数分布表，a＝， b＝，总人数是人；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？

(4)、九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率.

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22. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 的一个根是 $2$ ，另一个根m.

(1)、求m、n的值；

(2)、若直线 $A B$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， m)$ ，求直线 $A B$ 的解析式；

(3)、在平面直角坐标系中画出直线 $A B$ 的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使 $△ A B P$ 是直角三角形，若存在，写出点P坐标，并说明理由.

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23. 阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：

$sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β$

$tan (α \pm β) = \frac{tan α \pm tan β}{1 \pm tan α \cdot tan β}$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

例： $tan15 °$

= $tan (45 ° - 30 °)$

= $\frac{tan45 ° - tan3 0 °}{1 + tan45 ° \cdot tan3 0 °}$

= $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}}$

= $\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

= $\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$ =

$2 - \sqrt{3}$

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

(1)、计算：sin15°；

(2)、乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.（精确到0.1米，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{2} \approx 1.414$ ）

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24. 电子信息产业是重庆市的重要支柱产业，根据2019年的统计数据，全国每10台手机就有一台产自重庆，全球每10台电脑就有4台产自重庆，二娃手机连锁店顺应时代趋势，今年主打炫酷版摄影手机和实用版抗摔手机，售价各为6600元和3000元，在9月底共售出1200部，总销售额为6120000元.

(1)、二娃手机厂9月销售炫酷版手机多少部？

(2)、由于销售状况良好，二娃准备10月扩大销售规模，需要将炫酷版价格下调600元，实用版价格降低 $m \frac{0}{0}$ ，预估炫酯版销售量会增加 $\frac{3}{7} m \frac{0}{0}$ ，实用版销售量会增加 $2 m \frac{0}{0}$ ，预计销售额将会比9月少120000元，则m的值为多少？

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25. 阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式.比如： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6}) (\sqrt{7} + \sqrt{6})}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小.可以先将它们分子有理化.如下： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ $\sqrt{6} - \sqrt{5} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$

因为 $\sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ，所以 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$

再例如：求 $y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}$ 的最大值.做法如下：

解：由 $x + 2 \geq 0$ ， $x - 2 \geq 0$ 可知 $x \geq 2$ ，而 $y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2} = \frac{4}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$

当 $x = 2$ 时，分母 $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}$ 有最小值 $2$ ，所以y的最大值是 $2$ .

解决下述问题：

(1)、比较 $3 \sqrt{2} - 4$ 和 $2 \sqrt{3} - \sqrt{10}$ 的大小；

(2)、求 $y = \sqrt{1 + x} - \sqrt{x}$ 的最大值.

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26. 如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 $Δ A D E$ 沿DE翻折，点A的对应点为 $A_{1}$ ，延长 $E A_{1}$ 交直线DC于点F，再把 $∠ B E F$ 折叠，使点B的对应点 $B_{1}$ 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.

(1)、求证： $Δ A_{1} D E ∽ Δ B_{1} E H$ ；

(2)、如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 $A_{1}$ 恰好落在直线MN上，试判断 $Δ D E F$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点G为 $Δ D E F$ 内一点，且 $∠ D G F = 150 °$ ，试探究DG，EG，FG的数量关系.

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