浙江省温州市2021届高三下学期数学3月高考适应性测试试卷

试卷更新日期：2021-04-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 1 < x < 4}, B = {x ∣ 2 \leq x \leq 5}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 2 \leq x < 4}$ D、 ${x ∣ 4 \leq x \leq 5}$

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2. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ x \leq 1 \end{array}$ 所表示的平面区域的面积是（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知 $α, β$ 是两个不重合的平面，直线 $l ⊥ α$ ，则“ $l // β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知递增等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 15$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则（）

A、 $a_{1} = 0, S_{10} = 45$ B、 $a_{1} = 0, S_{10} = 90$ C、 $a_{1} = 1, S_{10} = 100$ D、 $a_{1} = 1, S_{10} = 55$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，下列条件使得 $△ A B C$ 无法唯一确定的是（）

A、 $a = 3 ， B = 15 ° ， C = 25 °$ B、 $a = 3 ， b = 4 ， C = 40 °$ C、 $a = 3 ， b = 4 ， A = 40 °$ D、 $a = 3 ， b = 4 ， B = 40 °$

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6. 已知函数 $f (x) = \ln | x | - x + \frac{1}{x}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、

C、 D、

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7. 已知定点 $P (m ， 0)$ ，动点 $Q$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上， $P Q$ 的垂直平分线交直线 $O Q$ 于点 $M$ ，若动点 $M$ 的轨迹是双曲线，则 $m$ 的值可以是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 如图，以 $O$ 为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形 $A B C D$ ，且 $A D / / B C ， A B ⊥ B C$ ，则当 $| A D |$ 增大时，下列说法错误的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D}$ 单调递减 B、 $\vec{O D} \cdot \vec{O C}$ 恒为定值 C、 $\vec{O C} \cdot \vec{O B}$ 单调递增 D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} + \vec{O C} \cdot \vec{O B}$ 恒为非负数

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9. 多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i（其中 $i = 2, 3, 4$ ）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量 $ξ_{i}$ （其中 $i = 2, 3, 4$ ），则有（）

A、 $E (ξ_{2}) + 2 E (ξ_{4}) < 3 E (ξ_{3})$ B、 $E (ξ_{2}) + 2 E (ξ_{4}) > 3 E (ξ_{3})$ C、 $2 E (ξ_{2}) + E (ξ_{4}) < 3 E (ξ_{3})$ D、 $2 E (ξ_{2}) + E (ξ_{4}) > 3 E (ξ_{3})$

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二、多选题

10. 如图，点 $M 、 N$ 分别是正四面体 $A B C D$ 棱 $A B 、 C D$ 上的点，设 $B M = x$ ，直线 $M N$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $θ$ ，则（）

A、当 $N D = 2 C N$ 时， $θ$ 随着 $x$ 的增大而增大 B、当 $N D = 2 C N$ 时， $θ$ 随着 $x$ 的增大而减小 C、当 $C N = 2 N D$ 时， $θ$ 随着 $x$ 的增大而减小 D、当 $C N = 2 N D$ 时， $θ$ 随着 $x$ 的增大而增大

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三、填空题

11. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2$ ，则 $z$ 的虚部为； $z \cdot \bar{z} =$ ．

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12. 已知 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则 $a_{0} =$ ，若 $a_{3} + a_{4} = 0$ ，则 $n =$ ．

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13. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $| P F_{1} | ： | P F_{2} | ： | Q F_{1} | = 2 ： 3 ： 1$ ，则 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} =$ ，椭圆的离心率为．

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14. 有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的 $S$ 型；感染病毒尚未康复的 $I$ 型；感染病毒后康复的 $R$ 型（所有康复者都对病毒免疫）．根据统计数据：每隔一周， $S$ 型人群中有95%仍为 $S$ 型，5%成为 $I$ 型； $I$ 型人群中有65%仍为 $I$ 型，35%成为 $R$ 型； $R$ 型人群都仍为 $R$ 型．若人口数为 $A$ 的人群在病毒爆发前全部是 $S$ 型，记病毒爆发 $n$ 周后的 $S$ 型人数为 $S_{n}, I$ 型人数为 $I_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ； $I_{n} =$ ．（用 $A$ 和 $n$ 表示，其中 $n \in N^{*}$ ）

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15. 已知 $a, b$ 是正数，且 $(a - 1) (b - 1) = 9$ ，则a+b的最小值是．

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16. 有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有种不同的停放方法．（用数字作答）

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17. 已知函数 $f (x) = - x | x - a |$ ，若对任意的 $x_{1} \in (2 ， + \infty)$ ，都存在 $x_{2} \in (- 1 ， 0)$ ，使得 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 4$ ，则实数 $a$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 如图，已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0 ， - \frac{1}{2})$ ，且 $(\frac{π}{3} ， 1)$ 该图象的最高点．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的零点；

(2)、若函数 $y = f (λ x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内单调递增，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ B C D = 90 ° ， B C = C D = 1$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = θ$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、有三个条件；
① $θ = 60 °$ ；

②直线 $A C$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $45 °$ ；

③二面角 $A - C D - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

请你从中选择一个作为条件，求直线 $B C$ 与平面 $A C D$ 所成的角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = {\begin{array}{l} n, & n 为奇数 \\ n^{2}, & n 为偶数 \end{array}$ ．

(1)、求 $a_{2}, a_{3}$ 及通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，求数列 ${2^{n - 1} \cdot b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项的和 $T_{2 n}$ ．

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21. 如图，过点 $F (1 ， 0)$ 和点 $E (4 ， 0)$ 的两条平行线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别交抛物线 $y^{2} = 4 x$ 于 $A ， B$ 和 $C ， D$ （其中 $A ， C$ 在 $x$ 轴的上方）， $A D$ 交 $x$ 轴于点 $G$ ．

(1)、求证：点 $C$ 、点 $D$ 的纵坐标乘积为定值；

(2)、分别记 $△ A B G$ 和 $△ C D G$ 的面积为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{4}$ 时，求直线 $A D$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{e^{k x}} ， g (x) = 2 a x^{2} + a x + 1$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 没有极值点，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) \leq f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 和 $a$ 所满足的关系式，并求实数 $k$ 的取值范围．

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